Martinika

Mekanika e Hamiltonit eshte nje ri-formulim i  mekanikes klasike qe u paraqit per here te pare ne 1833 nga matematikani Irlandez Uilliam Royan Hamilton. Si teori u ngrit ne baze te mekanikes se Lagranzhit, nje riformulim tjeter i mekanikes klasike, i dhene nga Jozef Luiz Lagranzhi ne 1788. Megjithate teoria mund te formulohet pa mbeshtetje ne mekaniken e Lagranzhit,  duke perdorur hapesira simplektike. Shikoni seksionin mbi formulimin matematik per kete. Metoda e Hamiltonit ndryshon nga menyrae e Lagranzhit sepse ne vend qe te shpehet nepremjet konditave te ekuacioneve diferencile te rendit te dyte ne nje  hapesire kordinative n-dimensionale,  ajo jepet nga kondita te ekuacioneve te rendit te pare ne nje hapesire faze 2n-dimensionale.

Ashtu si ne mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e Hamiltonit japin nje kendveshtrim te ri dhe ekuivalent te mekanikes klasike. Pergjithesisht, keto ekuacione nuk jane shume te pershtatshme per zgjidhjen e problemeve praktike. Megjithate, ato na lejojne te shikojme me thelle ne strukturen e pergjithsme te mekanikes klasike dhe lidhjes se saj me mekaniken kuantike sic jepet nga formalizmi Hamiltonian. Per me teper metoda ka aplikime edhe ne dege te tjera te shkences.

Nje paraqitje e thjeshtuar e perdorimit te metodes
Per nje system te mbyllur shuma e energjise kinetike me energjine potenciale jepet nga nje set ekuacionesh diferenciale te njohura si 'ekuacionet e Hamiltonit’'  per ate sistem. Funksioni Hamiltonian mund te perdoret per te pershkruar sisteme te thjeshta sin je top qe perplaset poshte e larte, nje lavjerres  ose nje  lekundjet e nje suste ne te ilen energjia ndryshon nga kinetike ne potenciale ne meyre te vazgdueshme gjate nje intervali kohor. Funksionet Hamiltoniane mund te perdoren ne modelimin e energjise ne sisteme komplekse dinamike si orbitat planetare apo ne mekaniken kuantike.

Ekuacionet e Hamiltonit jepen si me poshte:


 * $$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$$
 * $$\dot q =\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$$

Ne ekuacionet e melartme, pika tregon derivation e zakonshem te funksionit ne lidhje me kohen, p = p(t) (te quajtura impulse i pergjithshem) dhe  q = q(t) (te quajtura kordinatat e pergjithshme), te cilat marrin vlera ne nje hapesire vektoriale, Dhe $$\mathcal{H}$$ = $$\mathcal{H}(p,q,t)$$ eshte i ashte-quajturi Hamiltoniani, ose funksioni skalar Hamiltonian. Ne menyre me eksplicite kjo jepet si:


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)$$
 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)$$

qe cakton fushen e vlerave ku parametric t ("koha") ndryshon.

Per nje derivim te detajuar te ketyre ekuacioneve shikoni Mekaniken e Lagranzhit me poshte.

Interpretimi fizik, mnemoteknika
Interpretimi me i thjeshte i ekuacioneve te Hamiltonit jepet me poshte, duke i aplikuar ato ne nje system nje-dimensional qe perbehet nga nje thermije me mase  m  per te  cilen eshte e vertete conservimi i energjise: Funksioni Hamiltonian $$\mathcal{H}$$ perfaqeson energjine e sistemit, E cila eshte shuma e energjise kinetike dhe asaj potenciale, tradcionalisht te quajtura T & V, respektivisht. Ketu q eshte kordinata  xdhe impulsi p ,ose  mv. Atehere


 * $$\mathcal{H} = T + V, \quad T = \frac{p^2}{2m} , \quad V = V(q) = V(x). $$

Vini re se T eshte nje funksion i vetem  p ,kurse V eshte nje funksion vetem i x (ose q).

Tani derivati ne lidhje me kohen i impulsit p eshte i barabarte me forces Njutoniane, keshtu qe ketu ekuacioni i pare i Hamiltonit tregon qe forca mbi thermijen eshte e barabarte shpejtesine e ndryshimit te humbej se energjise potenciale ne lidhje me ndryshimet ne pozicionin   x,. (Forca jepet nga minus gradienti i energjise potenciale.) Derivati-kohor i q ketu ka kuptimin e shpejtesisie : ekuacioni i dyte i Hamiltonittregon se shpejtesia e thermijes eshte e barabarte me derivation e enrgjise kinetike ne lidhje me impulsion.(Per derivation ne lidhje me  p te  p2/2m e barabarte me  p/m = mv/m = v.)

Perdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit
$$\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}$$. Shnderro shpejtesite me rezultatin qe more ne hapin e trete (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.
 * 1) Se pari shkruaj funksionin e Lagranzhit L = T – V.  Shkruaj  T dhe  V sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit per sistemin ne fjale.
 * 2) Llogarit impulsin duke diferencuar funksionin e Lagranzhit ne lidhje me shpejtesine.
 * 3) Shprehi shpejtesite ne varesi te impulsit duke manipuluar relacionin qe moret ne hapin e dyte(2).
 * 4) Llogarit funksionin Hamiltonian duke perdorur percaktimin e zakonshem,

Shenime
Ekuacionet e Hamiltonit jane terheqese ne thjeshtesine e tyre mahnitese me simetrine paksa te (thyer ) Ato jane analizuar nga cdo kendveshtrim i mundshem, qe nga fizika e thjeshte deri te  gjeometria simplektike. Shume dihet mbi zgjehjet e ketyre ekuacioneve, megjithate rasti i pergjithshem, ekzakt i zgjedhjeve te ekuacioneve te levizjes nuk mund te jepet ne menyre eksplizite per nje system me me shume se dy pika lendores. Rezultati i madhesive te konservuara  luan nje rol shume te rendesishem ne kerkimin per zgjedjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyren e tyre. Ne modele me nje numer infinit gradash lirie, kjo eshte shume me e komplikuar. Nje zone interesante dhe premtuese kerkimi eshtestudimi i sistemeve te integrueshme,kun je numer i pafundem i madhesive konservuese mund te ndertohet.

Derivimi i ekuacioneve te Hamiltonit
Ne mund te drivojme ekuacionet e Hamiltonit duke analizuar se si funksioni Lagranzhian ndryshon kur ne ndryshojme johen dhe pozicionin e thermijave.

$$ \mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \mathrm{d}t $$

Tani impulse i pergjithshem u percaktua si $$p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}$$ keshtu qe ekuacionete e Lagranzhit na tregojne se $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i $$ ku $$F_i$$  eshte forca e pergjithshme. Kjo mund te transformohet ne menyre qe te japi $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i $$ ku ky rezultat mund te zevendesohet ne variacionin e funksionit Langrazhian $$ \mathrm{d}\mathcal{L} = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Kjo mund te rishkruhet si

$$ \mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i  \right ] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

dhe pas nje manipulimi te kesaj shprehjeje ne marrim $$ \mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L} \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Termi ne anen e majte eshte funksioni Hamiltonian qe ne percaktuam me pare, keshtu qe tani gjejme:

$$ \mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Ku barzimi i dyte eshte ivertetet per shkak te vete percaktimit te derivative pjesore. Duke bashkuar termat nga te dyja anet, ekuacioni i mesiperm jep ekuacionet eHamiltonit:



\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = F_j - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}. $$

Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikes se Lagranzhit
Duke filluar me mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e levizjes jane te bazuara ne kordinata te pergjithshme


 * $$\left\{\,  q_j     | j=1, \ldots,N \,\right\} $$

Duke shkruar shpejtesite e pergjithsme


 * $$\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} $$

Funksioni Lagranzhian mund te jepet si:


 * $$\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)$$

Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin N variabla te asaj madhesie.Mekanika  Hamiltoniane kerkon qe te zevendesoje variablat e shpejtesisie se pergjithshme me variablat e impulsit te pergjithshem, qe njihen gjithstu si   impulse i konjuguar. Duke vepruar ne kete menyre, eshte e mundure qe te trajtosh sisteme te caktuara, si per shembull aspekte te ndryshme te mekanikes kuantike, qe ndryshe do te ishin akoma me te veshtira.

Per cdo variable te shpejtesise se pergjithshme, ekziston nje variable e impulsit te konjuguar, qe percaktohet si:


 * $$p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$$

Ne kordinata Karteziane, impulse i pergjithshem eshte  impulsi linear. Ne kordinata rrethore polare, impulse i pergjithshem qe i korrespondon shpejtesise kendore eshte  impusli kendor. Per nje zgjedhje arbitrare kordinatash te pergjitshme, zakonisht nuk eshte e mundur qe ti japeh nje interpretim intuitive impulsit te konjuguar.

Nje gje qe nuk eshte shum e qarte ne kete formulim qe varet nga sistemi kordinativ eshte se kordinata te ndryshme te pergjithsme nuk jane gje tjeter vecse kordinatizime te dryshme te te njejtit manifold simplektik.

Funksioni Hamiltonian  eshte  transformimi  Lazhandrian i Funksionit Lagranzhian:


 * $$\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)$$

Ne qoftese ekuacionet e transformimit qe percaktojne kordinatat e pegjithshme jane te pavarura nga t, si dhe nqs funksioni  Lagranzhian eshte nje shume e produkteve te funksioneve  (ne kordinata te pergjithsme) qe jane homogjene ne rend zero,rend te pare ose te dyte, atehere mund te tregohet se  H eshte e barabarte me energjine e pergjithshme  E = T + V.

Cdo ane e relacionit $$\mathcal{H}$$ prodhon nje  diferencial:


 * $$\begin{align}

\mathrm{d}\mathcal{H} &= \sum_i \left[ \left({\partial \mathcal{H} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial p_i}\right) \mathrm{d}p_i \right] + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t\qquad\qquad\quad\quad \\  \\ &= \sum_i \left[ \dot{q}_i\, \mathrm{d}p_i + p_i\, \mathrm{d}\dot{q}_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_i}\right) \mathrm{d}\dot{q}_i \right] - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t \end{align}$$

Duke zevendesuar relacionin per impulsion e konjeguar ne kete ekuacion dhe duke analizua cdo koeficent, ne arrime ne ekuacionet e levizjes se mekanikes Hamiltoniane, te njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit:



\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t} $$

Ekuacionet e Hamiltonit jane ekuacione diferenciale te rendit te pare, pra ato jane shume me telehta per tu zgjidhur ne krahaim me ekuacionet e Lagranzhitte cilat jane te rendit te dyte. Megjithate hapat qe duhen marre per te arritur te keto ekuacione jane shume me te veshtira ne krahasim me ato te mekanikes se Lagranzhit –duke filluar me kordinatat e pergjithsme te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, te shprehim cdo shpejtesi te pergjithshme me ane te impulsit te konnjguar, si dhe te zevendesojme shpejtesite e pergjithsme ne funksionin Hamiltonian me impulse e konjguara. Pra me nje fjale,sic shikohet, nuk ka ndonje ndyshim te madh ne sasine e punes qe duhet bere per te zgjidhur nje problem ne mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekaniken e Lagranzhit. Ne fund te fundit, ajo jep te njejten zgjedje si ne mekaniken e Lagranzhit ose edhe me thjesht nga ligjet e Njutonit. Arsyeja thelbesore per menyren terheqese te metodes se Hamiltonit eshte fakti se ajo tregon bazat e nje structure teper te thelle te mekanikes klasike.

Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane
Nje system Hamiltonian mund te shikohet sin je tufe fibrash (matematike) E mbi kohen R, me nje fiber  Et, ku t ∈ R eshte pozicioni ne hapesire. Funksioni Lagranzhian eshte nje funksion mbi nje tufe xhetesh J mbi  E; duke marre transformimin  Lazhandrian ne lidhje me fibrat te funksinonit Lagranzhian, kjo jepnje funksion ne nje tufe duale fibra e se ciles  t eshte  hapesira kotangjente T*Et, e cila eshte e pajisur me nje  forme simplektike natyrale, ky funksion eshte funksioni Hamiltonian.

Pergjithesimi ne mekaniken kuantike nepermjet parantezave te Puasonit
Ekuacioni i me lartem i Hamiltonit eshte i vlefshem ne mekaniken klasike, por jo per mekanikesn kuantike, sepse ekuacionet diferenciale qe diskutuam me lart marrin parasysh qe  ne kemi mundesine te marrim njohuri te plote mbi pozicionin dhe impulsion e thermijes per cdo moment ne kohe. Megjithate, ekuacionet mund te pergjithesohen edhe me tej, si per shembull ne mekaniken kuantike ose edhe ne mekaniken klasike duke shfrytezuar transformimet nepermjet alghebes se Puasonit mbi p dhe  q  ,derit te algjebra e  parantezave te Mojalit. Ne kete rast, forma me e pergjitshme e ekuacionet te Hamiltonit eshte


 * $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, \mathcal{H}\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

Ku f eshte nje funksion i  p dhe  q, dhe  H eshte funksioni Hamiltonian. Per te ghetur rregullat per te llogaritur nje paranteze Puasoni pa perdorur ekuacione diferenciale ,referoju artikullit mbi  algebren e Li; nje paranteze  Puasoni eshte emir in je paranteze te Lie ne algjebren e Puasonit.

Ne fakt, kjo menyre algjebrike jo vetem qe na lejon qe te zgjerojme nocionin e distribucionit te probabilitetit ne hapesiren fazale ne distribucionin e kuazi-probabilitetit te Wignerit, por gjithashtu eshte nje metode me e fuqishme vecanrisht ne trajtimin klasik, ku ndihmon per analizimin e  madhesive te konservuara ne nje sistem.

Formalizmi matematik
Per cdo funksinon H qe ka vlere reale dhe eshte i lemuar ne nje manifold simplektik ne mund te percaktojme nje  system Hamiltonian. Funksioni H njihet si  Hamiltoniani ose funksioni i energjise. Manifoldi simplektik ne kete rast quhet hapesire fazale. Funksioni Hamiltonian indukton nje fushe vektoriale special ne manifoldin simpletik, e cila njihet si fusha vektoriale simplektike.

Fusha vektoriale simplektike, qe gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shakton nje rrjedhe Hamiltoniane ne manifold. Kurbat integrale te fushes vektoriale jane nje familje me nje parameter e transformimeve ne manifold; parametric i kurbave zakonisht quhet kohe. Evolucioni kohorne kete rast jepet nga simplektomorfizmat. Nga  Teorema e Ljuvilit, cdo simplektomorfizem ruan  formen e volumit ne  hapesiren fazale. Grumbullimi i simplektomorfizmave te shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet mekanika e Hamiltonit e sistemit Hamiltonian.

Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu nje veprim special te quajtur, parantezat e Puasonit. Parantezat e Puasonit veprojne mbi funksione ne nje manifold simplektik, duke i dhene hapesires se funksioneve nje structure qe quhet algjebra e Liut.

Le te kemi nje funksionte caktuar f


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.$$

Neqoftese kemi nje distribucion probabiliteti, ρ,atehere (neqoftese shpejtesia ne hapesiren fazale  ($$ {\dot p_i}, {\dot q _i}  $$) ka divergjence zero, dhe probabiliteti ruhet ) ne kete rast mund te tregohet se  derivati konvektiv eshte zero ,pra


 * $$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho ,\mathcal{H}\,\}.$$

Kjo quhet teorema e Ljuvilit.

Algjebra e Puasonit
Sistemet Hamiltoniane mund te pergjithesohen ne menyra te ndryshme. Ne vend qe te shikojme vetem per algjebrat e funksioneve te diferencueshem mbi nje manifold simplektik, mekanika e Hamiltonit mund te formulohet ne algjebra te Puasonitqe pergjithesisht jane comutative unitare dhe reale. Nje gjendje eshte nje funksion linear i vazhduar ne algjebren e Puasonit (i pajisur me nje topologji te caktuar) e tille qe per nje element  A te algjebres, A² lidhet me nje numer real jonegativ.

Nje pergjithesim i metejshem jepet nga dinamika e Nambu.

Shikoni gjithashtu

 * Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)
 * Mekanika e Lagranzhit
 * Transformimet kanonike
 * Mekanika klasike
 * Sistemet dinamike
 * Mekanika kuantike
 * Ekuacionet e Maksuellit
 * Teoria e fushes
 * Ekuacionet e Hamilton–Jakobit

Referenca

 * V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3]
 * Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
 * V.I. Arnol'd, V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
 * A. M. Vinogradov, B. A. Kupershmidt "The structure of Hamiltonian mechanics" (djvu), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London
 * Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
 * Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)