Momenti i Inercisë

Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercise ose masa kendore, (njesite ne SI kg m2), eshte koncepti analog i mases per trupa ne rrotullim. Ndyshe ai mund te kuptohet si inercia e nje trupi te ngurte ne rrotullim ne lidhje me piken e rrotullimit. Moment i inercise luan te njejtin rol ne levizjen rrotulluese qe masa luan ne dinamiken e thjeshte, kjo madhesi percakton lidhjet mes momentit kendor dhe shpejtesise kendore, krahut te forces dhe  nxitimit kendor, si dhe shume madhesive te tjera. Edhe pse nje trajtim i thjeshte skalar i momentit te inercise mjafton per nje pjese te mire rastesh, nje trajtim me i avancuar i bazuar ne analizen tensoriale duhet te behet per sisteme me te komplikuar si per trupat rrotullues apo per levizjen xhiroskopike.

Simboli $$I$$ ose ndonjehere  $$J$$ perdoren zakonisht per te treguar momentin e inercise.

Momenti i inercise u paraqit per here te pare nga Ojleri ne librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ne 1730. Ne kete liber, ai diskuton me detaje te shumta momentin e inercise dhe koncepte te tjera te si, akset principale te inercise, te cilat kane te bejne me momentin e inercise.

Percaktimi
Nje percaktim i thjeshte i momentit te inercise se cdo objekti, qofte ai i nje pike lendore apo nje strukture 3-dimensionale, jepet nga:


 * $$I = \int r^2 \,dm$$

ku
 * m eshte masa,
 * dhe r eshte distance (pingule) e pikes lendore nga boshti i rrotullimit.

Nje analizim i detajuar
Momenti (skalar) i inercise i nje pike lendore qe rrotullohet rreth nje aksi jepet nga


 * $$I \triangleq m r^2\,\!$$

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup te ngurte qe konsiston nga $$N$$ pika lendore $$m_{i}$$ me distanca $$r_{i}$$ nga boshti i rrotullimit, moment total i inercise eshte i barabarte me shumen e momenteve te inercise se pikave lendore:


 * $$I \triangleq \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!$$

Per nje trup te ngurte qe pershkruhet nga nje funksion densiteti te vazhdueshem te mases ρ(r), moment i inercise rreth nje aksi te njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (te peshuar nga densiteti i mases) nga nje pike e trupit deri tek bosti i rrotullimit:


 * $$I \triangleq  \iiint_V r^2 \,\rho(\boldsymbol{r})\,dV \!$$

ku
 * V eshte volume i zene nga objekti.
 * ρ eshte funksioni i densitetit hapesinore te objektit dhe
 * $$\boldsymbol{r} \equiv (r,\theta,\phi),(x,y,z), ose (r,\theta,z)$$ jane kordinatat e pikes brenda trupit.

Vetem duke u bazuar ne analizen dimensionale, shikojme se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pike lendore duhet te marre formen:
 * $$ I = k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!$$

ku
 * M eshte masa
 * R eshte rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste, gjatesia e objektit perdoret.)
 * k eshte nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale perdoren per te marre parasysh diferencat ne vendosjen e mases nga qendra e rrotullimit. Disa shembuj jane:


 * k = 1, unaze e holle ose cylinder me mure shume te holla rreth qendres se tij,
 * k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
 * k = 1/2, cylinder i ngurte ose disk rreth qendres.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve te inercise.

Percaktimi
Per nje object te ngurte te perbere nga $$N$$ pika lendore $$m_{k}$$, tensori i momentit te inercise jepet nga

\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} $$.

Komponentet e saj percaktohen si


 * $$I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (r_k^{2}\delta_{ij} - r_{ki}r_{kj})\,\!$$

ku


 * i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
 * rk eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
 * $$\delta_{ij}$$ eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si


 * $$I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\! $$
 * $$I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$$
 * $$I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!$$

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane


 * $$I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!$$
 * $$I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!$$ and
 * $$I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!$$

Ketu $$I_{xx}$$ jep momentin e inercise rreth bushtit-$$x$$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, $$I_{xy}$$ tregon momentin e inercise rreth aksit-$$y$$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-$$x$$, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim
 * $$\mathbf{I}=\iiint_V \rho(x,y,z)\left( r^2 \mathbf{E}_{3} - \mathbf{r}\otimes \mathbf{r}\right)\, dx\,dy\,dz,$$

ku $$\mathbf{r}\otimes \mathbf{r}$$ eshte produkti i jashtem, E3 eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Shikoni gjithashtu

 * Lista e momenteve te inercise
 * Lista e momenteve te tensoreve te inercise
 * Energjia rrotulluese
 * Teoreme e aksit paralel
 * Teorema e aksit perpendikular
 * Elipsoidi i Poinsots

Referenca

 * Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9


 * Landau LD and Lifshitz EM. (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).


 * Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson.  ISBN 0-03-097302-3


 * Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7


 * Tenenbaum, RA. (2004) Fundamentals of Applied Dynamics, Springer. ISBN 0-387-00887-X

Lidhje te jashtme

 * Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions
 * A table of moments of inertia
 * Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
 * The moment of inertia tensor
 * An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)