Vibrimet e daulles rrethore



Vibrimet e nje daulleje rrethore ideale, e cila konsiston prej nje membrane elastike rrethore me trashesi uniforme e fiksuar te nje kornize rrethore, jane zgjidhje te ekuacionit te vales me kondita kufitare zero.

Ekziston nje numer i pafundem menyrash sipas te cilave nje daulleje mund te vibroje, ne varesi te formes se daulles ne nje kohe fillestare, dhe shpejtesise se ndryshimit te formes se daulles ne nje kohe fillestare. Duke perdorur metoden e ndarjes se variablave, eshte e mundur te gjehet nje koleksion i "thjeshte" menyrash vibrimi, si dhe mund te provohet se cdo vibrim sado kompleks i daulles mund te dekompozohet si nje kombinim linear i vibrimeve me te thjeshta.

Problemi
Konsideroni nje disk te hapur $$\Omega$$ me rreze $$a$$ me qender ne origjinen e daulles, i cili perfaqeson formen e fiksuar te daulles. Ne cdo kohe $$t,$$ lartesia e formes se daulles tek nje pike $$(x, y)$$ ne $$\Omega$$ e matur nga forma e "fiksuar" do te jepet nga $$u(x, y, t),$$ e cila mund te merret me vlera pozitive ose negative. Le $$\partial \Omega$$ te perfaqesoje kufirin e $$\Omega,$$ pra, rrethi me rreze $$a$$ me qender ne origjine, e cila perfaqeson nje kornize te palevizmshme ne te cilen membrana e daulles eshte e fiksuar.

Ekuacioni matematik qe pershkruan vibrimin e daulles eshte ekuacioni i vales me kondita kufitare zero,


 * $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \text{ for }(x, y) \in \Omega \,$$


 * $$u = 0\text{ on }\partial \Omega.\,$$

Ketu, $$c$$ eshte nje konstante pozitive, e cila jep "shpejtesine" e vibrimit.

Per shkak te gjeometrise rrethore, eshte shume e pershtatshme perdorimi i kordinatave polare, $$r$$ dhe $$\theta.$$ Tani, ekuacioni i mesiperm mund te shkruhet si


 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\right) \text{ for } 0 \le r < a, 0 \le \theta \le 2\pi\,$$


 * $$u = 0\text{ for } r=a.\,$$

Rasti me simetri rrezore
Ne do te studiojme ne fillim rastin e menyrave te mundshme te vibrimit te nje daulleje rrethore qe kane simetri rrezore. Ne kete rast, funksioni $$u$$ nuk varet tek kendi $$\theta,$$ keshtu qe ekuacioni thjeshtohet dhe merr formen


 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right) .$$

Tani ne kerkojme per zgjidhje duke perdorur metoden e ndarjes se variablave, $$u(r, t) = R(r)T(t).$$ Duke e zevendesuar kete ne ekuacionin e melartem dhe duke pjestuar te dy anet me $$c^2R(r)T(t)$$ marrim


 * $$\frac{T(t)}{c^2T(t)} = \frac{1}{R(r)}\left(R(r) + \frac{1}{r}R'(r)\right).$$

Ana e majte e ketij barazimi nuk varet tek $$r,$$ dhe ana e djathte nuk varet tek $$t,$$ keshtu qe nga kjo del se te dyja anet jane te barabarat me nje konstante $$K.$$ Marrim keshtu dy ekuacione per $$T(t)$$ dhe $$R(r)$$:


 * $$T''(t) = Kc^2T(t) \,$$
 * $$rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,$$

Ekuacioni per $$T(t)$$ ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogelohen ne menyre eksponenciale per $$K>0,$$ jane lineare ose konstante per $$K=0,$$ dhe jane periodke per $$K<0.$$ Fizikisht pritet qe zgjidhja e problemit te daulles vibruese te jete oshiluese ne kohe, keshtu qe kjo le vetem rastin e trete, $$K<0,$$ kur $$K=-\lambda^2$$ per nje numer $$\lambda>0.$$ Atehere, $$T(t)$$ eshte nje kombinim linear i funksineve sinus dhe kosinus,


 * $$T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, $$

Duke u kthyer tek rasti i pergjithshem per $$R(r),$$ me observimin qe $$K=-\lambda^2,$$ dhe te gjitha zgjidhjet e ketij ekuacioni diferencial te rendit te dyte jane kombinime lineare te funksioneve Bezel te rendit 0,


 * $$R(r) = c_1 J_0(\lambda r)+ c_2 Y_0(\lambda r).\,$$

Funksioni Bezel $$Y_0$$ nuk ka kufi per $$r\to 0,$$ keshtu qe kjo rezulton ne nje zgjidhje pa kuptim fizik per daullen vibruese, kjo do te thote se konstantja $$c_2$$ duhet te jete zero. Gjithahtu do supozojme se $$c_1=1,$$ sepse kjo konstante mund te absorbohet lehte ne ndonje konstante tjeter me vone $$A$$ dhe $$B$$ qe vine nga $$T(t).$$ Nga kjo del qe


 * $$R(r) = J_0(\lambda r).$$

Kerkesa qe lartesia $$u$$ e membranes te jete zero tek kufiri i daulles rezulton ne konditen


 * $$R(a) = J_0(\lambda a) = 0.$$

Funksioni Bezel $$J_0$$ ka nje numer te pafundem rrenjesh pozitive,


 * $$0< \alpha_{01} < \alpha_{02} < \cdots$$

Nga kjo marrim $$\lambda a=\alpha_{0n},$$ for $$n=1, 2, \dots, $$ keshtu qe


 * $$R(r) = J_0\left(\frac{\alpha_{0n}}{a}r\right).$$

Pra, zgjidhjet me simetri rrezore $$u$$ te membranes vibruese qe mund te jepen me menyrene e ndarjese se variablave jane


 * $$u_{0n}(r, t) = \left(A\cos c\lambda_{0n} t + B\sin c\lambda_{0n} t\right)J_0\left(\lambda_{0n} r\right)$$ for $$n=1, 2, \dots, \, $$

ku $$\lambda_{0n} = \alpha_{0n}/a.$$

Rasti i pergjithshem
Rasti i pergjithshem, ku $$u$$ varet edhe tek kendi $$\theta,$$ trajtohet ne nje menyre shume te ngjashme. Tani supozojme se ekziston nje zgjdhje ku variablat mund te ndahen,


 * $$u(r, \theta, t) = R(r)\Theta(\theta)T(t).\,$$

Duke e zevendesuar kete ne ekuacionin valor dhe duke aplikuar metoden e ndarjes se variblave, marrim


 * $$\frac{T(t)}{c^2T(t)} = \frac{R(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=K$$

ku $$K$$ eshte nje konstante. Si me pare, nga ekaucioni per $$T(t)$$ del qe $$K=-\lambda^2$$ me $$\lambda>0$$ dhe


 * $$T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, $$

Nga ekuacioni


 * $$\frac{R(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=-\lambda^2$$

marrim, duke shumezuar te dyja anet me $$r^2$$ dhe duke bere ndarjen e variablave, marrim


 * $$\lambda^2r^2+\frac{r^2R''(r)}{R(r)}+\frac{rR'(r)}{R(r)}=L$$

dhe


 * $$-\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=L,$$

per nje konstante $$L.$$ Since $$\Theta(\theta)$$ eshte periodike, me periode $$2\pi,$$ $$\theta$$ e cila eshte nje variabel kendore, nga kjo del qe


 * $$\Theta(\theta)=C\cos m\theta + D \sin m\theta,\, $$

ku $$m=0, 1, \dots $$ dhe $$C$$ dhe $$D$$ jane disa konstante. Kjo implikon qe $$L=m^2.$$

Po te kthehemi prapa tek ekuacioni per $$R(r),$$ zgjidhja e tij jepet nga nje kombinim linar i funksioneve Bezel $$J_m$$ dhe $$Y_m.$$ Me nje argument te ngjashem si ne seksioni e meparshem, arrime tek


 * $$R(r) = J_m(\lambda_{mn}r),\,$$ $$m=0, 1, \dots,$$ $$n=1, 2, \dots,$$

ku $$\lambda_{mn}=\alpha_{mn}/a,$$ me $$\alpha_{mn}$$ e cila eshte rrenja pozitive e $$n$$-te e $$J_m.$$

Me lart treguam qe te gjitha zgjidhjet ne te cilat variablat jane te pavarura per nje daulle vibruese rrethore jane te formes


 * $$u_{mn}(r, \theta, t) = \left(A\cos c\lambda_{mn} t + B\sin c\lambda_{mn} t\right)J_m\left(\lambda_{mn} r\right)(C\cos m\theta + D \sin m\theta)$$

per $$m=0, 1, \dots, n=1, 2, \dots$$.

Shenim
Duhet theksuar se zgjidhja e melartme merr parasysh disa supozime ideale te cilat jane te inkarnuara ne ekuacionin e vales.Nje simulim kompjuterik i problemit te mesiperm do te kete nje gabim te caktuar (zakonisht rreth 5%) ne varesi te metodes se perdorur.

Shikoni gjithashtu

 * Degjimi i formes se daulles
 * Korda vibruese