Ekuacioni i valës

Ekuacioni i vales eshte nje ekuacion diferencial pjesor i rendit te dyte me rendesi shume te madhe i cili pershkruan propagimin e nje sere llojesh valesh, si valet e zerit, valet dritore si dhe valet e ujit. Ky ekuacion shfaqet ne fushe te ndryshme si akustika, elektromagnetika, si dhe ne dinamika e fluideve. Historikisht, problem i nje korde vibruese si ajo ne nje instrument muzikor u studiua nga Jean le Rond d'Alembert, Leonard Ojler, Daniel Bernulli, dhe Jozef Luiz Lagranzhi.

Nje paraqitje e pergjithshme
Ekuacioni i vales eshte prototipi i shembullit per nje ekuacion diferencial pjesor hiperbolik. Ne formen e tij me te thjeshte, ekuacioni i vales i referohet nje funksioni skalar u qe kenaq:


 * $${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u, $$

ku $$\scriptstyle\nabla^2$$ eshte operatori i Laplasit dhe c eshte nje konstante e fiksuar e njejte me shpejtesine e propagimit te vales. Per nje vale zeri ne ajer ne 20°C kjo konstante eshte rreth 343 m/s (shikoni shpejtesine e zerit). Per nje korde vibruese shpejtesi mund te ndyshoje shum, ne varesi te densitetit linear te kordes si dhe forces se tensionit ne te. Per nje suste spirale ( Susta) ajo mund te jete shume e avashte, deri ne nje meter per sekonde. Ekuacione diferenciale me realiste per modelimin e valeve lejojne qe shpejtesia e vales te varioje me frekuences e vales, ky fenomen njihet si shperhapja e vales ose ne terma teknike si dispersioni. Ne kete rast, c duhet te zevendesohet nga shpejtesia fazore:
 * $$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.$$

Nje korrektese tjeter qe haset shume, per modelimin e sistemeve realiste , eshte se shpejtesia e vales varet gjithashtu edhe ne amplitude e saj, kjo con ne nje ekuacion valor jolinear:


 * $${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u $$

ku:

Vini re qe ne kete ekaucion, si forca ashtu edhe zhvendosja jane madhesi vektoriale. Pra, ky ekuacion njihet si ekuacioni vektorial i vales.
 * $$\scriptstyle\lambda$$ dhe $$\scriptstyle\mu$$ jane te ashtequajurit parametrat Lame qe pershkruajne vetite elastike te mjedisit,
 * $$\scriptstyle\rho$$ eshte dendesia,
 * $$\scriptstyle\bold{f}$$ eshte funksioni i burimit (forca ngacmuese),
 * and $$\scriptstyle\bold{u}$$ eshte zhvendosja.

Disa forma te ndryshme te ekuacionit te vales gjenden ne mekaniken kuantike dhe relativitetin e pergjithshem.

Derivimi i ekuacionit te vales
Ekuacioni i vales ne rastin nje-dimensional mund te derivohet ne menyren e meoshtme: Imagjino nje sere masash te vogla m te lidhura me pe (ose susta) te gjatesise h. sustat kane nje koeficente ngurtesie  k:
 * [[Image:array_of_masses.png]]

Ketu u(x) mat distancen nga ekuilibri te mases qe eshte e pozicionuar tek x. Forca e aplikuara mbi masen $$m$$ tek pozicioni $$x+h$$ jane:
 * $$F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}$$


 * $$F_\mathit{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]$$

Ekuacioni i levizjes per peshen te pozicioni x+h jepet nga keto dy forca:


 * $$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$$

Ku varesia kohore e u(x) eshte dhene ne menyre eksplicite.

Neqoftese peshat perbehen nga N pasha te distancuara njesoj mbi gjatesine L = N h e te gjithe mases M = N m, dhe ngurtesia totale e peshave eshte K = k/N ne mund ta shkruajme ekuacionin e melartem si:


 * $${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 [\over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)] \over h^2}$$

Duke marre limitin $$N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0$$ (si dhe duke supozuar se kemi te bejme me nje funksion te lemuar) marrim:


 * $$ {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } $$

(KL2)/M eshte katrori i propagimit te shpejtesise ne kete ratst te vecante.

Ekuacioni valor johomogjen ne nje dimension
Ekuacioni valor johomogjen ne nje dimension merr formen e meposhtme:


 * $$c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) = s(x,t)$$

Me kodita fillestare te dhena nga
 * $$u(x,0)=f(x)$$
 * $$u_t(x,0)=g(x).$$

Funksioni $$s(x,t)$$ zakonisht quhet funksioni burim sepse ne prkatike ai pershkruan effektet e burimeve te vales dhe mjedist qe i permban ato. Shembuj fizike te funksionit te burimit perfshine forcen qe eksiton nje korde, ose ngarkesen ose densitetin e ngarkeses tek madhesia e Lorencit ne elektromagnetizem.

Nje metode per zgjidhjen e problemit te vleres fillestare (me vlerat e dhena fillestare) eshte te marrim avantazh nga vetia e ekuacionit qe zgjidhjet e tij zbatojne parimin e kauzalitetit. Pra, per cdo pike $$(x_i,t_i)$$, vlera e $$\scriptstyle u(x_i,t_i)$$ varet vetem tek vlerat $$\scriptstyle f(x_i + c t_i)$$ dhe $$\scriptstyle f(x_i - c t_i)$$ si dhe vlerat e funksionit $$\scriptstyle g(x)$$ midis $$\scriptstyle (x_i - c t_i)$$ dhe $$\scriptstyle (x_i + c t_i)$$. Kjomund te shikohte tek formula e d'Alembertit, e dhene me lart, ku keto madhesi jane te vetmete qe paraqiten ne te. Fizikisht, neqoftese propagimi maksimal i shpejtesise eshte $$\scriptstyle c$$, atehere asnje pjese e vales qe nuk mund te propagoje te nje pike e dhene ne nje kohe te dhene mund te kete ndikim mbi amplitude ne te njejten pike ne te njejten kohe.

Ne terma te zgjidhjes, kjo veti do te thote se per cdo pike te dhene ne nje vije te konsideruar, e vetmja zone qe duhet te merret ne considerate eshte zona qe perfshin te gjitha piket qe ndikojne ne menyre kauzale piken qe merret ne considerate. Shenojeni kete zone qe ndikon mbi pikat me $$\scriptstyle (x_i,t_i)$$ si $$\scriptstyle R_C$$. Supozo se integrojme ekuacioni johomogjen te vales mbi kete rajon.


 * $$\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. $$

Per ta thjeshtuar kete perdorim teoremen e Grinit qe te thjeshtojme anen e majte dhe te marrim rrezulatatin e meposhtem:


 * $$\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. $$

Ana e majte eshte shuma e tre integraleve kurbolineare perreth kufirit te rajonit te kauzalitetit. Keto jane shume te thjeshta per tu llogaritur
 * $$\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.$$

Melart, termi qe do integrohet ne lidje me kohen zhduket sepse intervali kohor i perfshire eshte zero, pra $$ d t = 0 $$.

Per dy anet e tjera te rajonit, duhet vene ne pah se $$\scriptstyle x \pm c t$$ eshte konstante, pra $$\scriptstyle x_i \pm c t_i$$, ku shenja zgjidhte si duhet. Duke perdorur kete, ne mund te marrim relacionin $$\scriptstyle dx \pm c dt = 0$$, duke zgjedhur te njejten shenje:


 * $$\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) \,$$
 * $$= \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, $$
 * $$= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,$$

Si dhe per segmentin kufitar final:


 * $$\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) $$
 * $$= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right ) $$
 * $$= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right ) $$
 * $$= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,$$

Duke e vndosur keto tre rezultate se bashku ne integralin origjinal:


 * $$- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt $$
 * $$2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt $$
 * $$2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt $$
 * $$u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,$$

Shikoni gjithashtu

 * Ekuacioni i Helmholcit
 * Ekuacioni valor akustik
 * Ekuacioni i vales elektromagnetike
 * Ekuacioni johomogjen i vales elektromagnetike
 * Efekti Dopler
 * Ekuacioni i Shrodingerit
 * Justifikimi teorik dhe eksperimental per ekuacionin e Shrodingerit
 * operatori i Laplasit
 * Vibrimet e nje daulleje rrethore
 * Aspektet matematike te ekaucionit valor dikutohen tek Dispersive PDE Wiki.

Referenca

 * M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
 * M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
 * R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
 * "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
 * Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Lidhje te jashme

 * Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp and Nonlinear Wave Equation Explorer by Stephen Wolfram, and  The Wolfram Demonstrations Project.