Bashkësitë

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :
 * Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: $$ A = (a_{1},a_2,a_3,...,a_n ) $$
 * Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: $$ A = \{ x|F(x) \} $$

Bashkësitë numerike

 * Bashkësia e numrave natyral :

$$\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots, n, n+1, \ldots \,\}$$


 * Bashkësia e numrave të plotë :

$$\mathbb{Z} = \{\, \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}$$


 * Bashkësia e numrave racional :

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} |  m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$$


 * Bashkësia e numrave realë :

$$\mathbb{R} = \{\ x|- \infty <x<+ \infty \,\}$$


 * Bashkësia e numrave kompleksë :

$$\mathbb{C} = \{\ x+iy|x \in\mathbb{R} ,y \in\mathbb{R} ,i= \sqrt{-1} \,\}$$


 * Bashkësia e numrave çift :

$$\mathbb{N_+} = \{\ 2n|n\in\mathbb{N}}}$$ {0,2,4,6,8}


 * Bashkësia e numrave tek :

$$\mathbb{N_-} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \not\vdots 2 \,\}$${1,3,5,7,9}

Veprimet me bashkësi
Prerja e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila i përmban elementet njërës bashkësi ,,dhe,, të tjetrës $$A$$ and $$B$$ $$$$ figura.
 * Prerja e bashkësive

Unioni i bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ $$$$ figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :
 * Unioni (apo bashkimi) i bashkësive
 * 1) Ligji i indempotencës

$$A\cup A=A$$


 * 1) Ligji i kumutativ

$$A\cup B=B\cup A$$


 * 1) Ligji asociativ

$$AU(BUC)=(AUB)UC$$


 * 1) Ligji distribtiv


 * 1) Ligji distribtiv

Diferenca e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë $$A$$ që nuk i takojnë bashkësisë $$B$$ $$$$ figura.
 * Diferenca e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ $$$$ figura.
 * Diferenca simetrike e bashkësive

Relacionet
Nëse me $$A$$ shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me $$ \rho $$ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të $$A$$-së, atëherë për $$ \rho $$ themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : $$AxB$$ Vetit e relacionit binar janë: Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ vlenë relacioni $$ \rho$$ i cili ka vetitë $$a \rho b$$ dhe $$b \rho a$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë. $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv. Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ nga relacioni binar $$ \rho$$ rrjedhë $$b \rho a$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë. Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ nga relacionet binare $$a \rho b$$ dhe $$b \rho a$$ rrjedhë $$a \rho c$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv. Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë $$\rho$$ i cili në bashkësinë $$A$$ është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " $$\sim$$ ". Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.
 * Relacionet binare
 * Relacioni i ekuivalencës

Relacioni i renditjes është relacioni binarë $$\rho$$ i cili në bashkësinë $$A$$ është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv. Nëse relacioni i binarë $$\rho$$ në bashkësinë $$A$$ është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).
 * Relacioni i renditjes

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian $$AxB$$ i bashkësive jo të zbrazëta $$A$$ dhe $$B$$. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : $$ \rho = \left \{ (a,b)| a \in A \land b \in B \land a \rho b \right \} $$
 * Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Pasqyrimet
Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë $$A$$ në $$B$$ quhet relacioni $$ \rho $$ ndërmjet dy bashkësive $$A$$ dhe $$B$$, i cili ka këtë veti : $$ ( \forall x \in A)( \exists !y \in B)(x,y) \in \rho $$ Elementet e bashkësisë $$A$$ që pasqyrohen në bashkësinë $$B$$ janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë $$B$$ që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me $$ \rho $$ por me $$ f, g , h , \psi $$ etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë. $$ f: A \to B $$ ose $$f: x \to y =f(x), \forall x \in A $$''' $$ f(x)=2x, x\in \mathbb{N} $$
 * Shënimi simbolik i pasqyrimit
 * Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 * Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 * Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

Nëse për pasqyrimin $$ f: A \to B $$ vlen që ç´do $$y$$ element i $$B$$ dhe ekziston një elementë $$x$$ i tillë që : $$( \forall y \in B)( \exists !x \in A), g:y \to x=g(y)$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers $$g$$ të pasqyrimit $$f$$. Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive. Shënimi i pasqyrimit invers $$f$$ zakonisht shënohet si :$$f^-$$ Për pasqyrimin $$f$$ themi se është kodomen i domenit $$f^-$$ dhe në të njëjtën kohë domeni $$f$$ është kodomen i $$f^-$$. Figura:
 * Funksioni invers

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit $$x$$ të bashkësisë $$A$$ i përgjigjet (ekziston së paku një) element $$y$$ i bashkësisë $$B$$, i tillë që në bashkësinë $$C$$ ekziston së paku një element $$z$$ i cili i përgjigjet $$y$$.Në gjuhen matematikore kjo duket si : $$ ( \forall x \in A)( \exists !z \in C)(g \circ f): x \to z=g{f(x)}.$$
 * Shumëzimi i funksioneve

Veprimet binare
Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që: $$ f: A^2 \to A $$

Ligjet e veprimeve binare
$$( \forall a \in A)a \circ e=e \circ a=a$$ ,atëherë për $$e$$ themi se është element neutral.
 * 1) ligji komutativ është nëse vlen:$$ ( \forall a, b \in A) a \circ b= b \circ a.$$
 * 2) ligji asociativ është nëse vlen:$$ ( \forall a, b , c \in A)( a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).$$
 * 3) ligji distributiv është nëse vlen: $$ ( \forall a, b , c \in A) a \circ (b * c)=(a \circ b)* (a \circ c).$$
 * Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ është i përkufizuar veprimi binar $$ \circ $$ atëherë për $$(A, \circ)$$ themi se është grupoid.
 * Po që se veprimi binarë $$ \circ $$ grupoidit $$(A, \circ)$$ është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
 * Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ ekziston një element $$e$$ me vetin:

Grupet dhe nëngrupet

 * Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha
Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku Trup quhet unaza asociative $$(A, \oplus, \otimes )$$ nëse $$(A_1, \otimes )$$ është grup, ku $$ A_1 = A| \left \{ 0 \right \}$$. Fushë quhet trupi $$(A, \oplus, \otimes )$$ nëse shumëzimi është kumutativ.
 * Unaza
 * 1) $$(A, \oplus )$$ është grup abelian,
 * 2) $$(A, \otimes )$$ është grupoid dhe
 * 3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
 * Trupi
 * Fusha

Simbolet matematikore
مجموعة (رياضيات) Мноства Мноства Множество সেট Skup Conjunt Množina Mængde Menge (Mathematik) Σύνολο Set (mathematics) Aro (matematiko) Conjunto Hulk Multzo fa:مجموعه (ریاضی) Hulk Ensemble Insiemi Àlach Conxunto קבוצה (מתמטיקה) Skup Halmaz Ensemble Himpunan Ensemblo Mengi Insieme 集合 სიმრავლე ಗಣ 집합 Copia Cungjuunt Aibė Kopa Множество ഗണം Олонлог Verzameling (wiskunde) Mengd Mengde nov:Ensemble Ensemble Zbiór Conjunto Tantachisqa Mulţime Множество Nzemi Skup Set Množina Množica Скуп Mängd கணம் (கணிதம்) เซต Küme Множина مجموعہ Tập hợp סכום (מאטעמאטיק) 集合 集 集合