Ekuacioni i valës elektromagnetike

Ekuacioni i valës elektromagnetike është një  ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, e shkruar në terma të fushës elektrike E ose të  fushës magnetike B, merr formën:


 * $$ \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{E} \ \ = \ \ 0$$


 * $$ \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{B} \ \ = \ \ 0$$

Ku c është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakum, c = c0 = 299,792,458 metër për sekondë, e cila është shpejtesia e drites në boshllek.

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në shumicën e literaturave të vjetra, B quhet  "densisteti i fluksit magnetik"  ose  "induksioni magnetik".

Në boshllëk
Nëqoftëse vala përhapet në boshllëk, atëhere


 * $$c = c_o = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8 $$ meter për sekonda

është shpejtësia e dritës në vakum, një vlerë e përcaktuar që përcakton standartin e gjatësisë, njësisë së metrit. Konstantja magnetike $$\ \mu_0$$ dhe permitiviteti i vakumit $$\ \varepsilon_0$$ janë dy konstante fizike të rëndësishme që luajnë një rol kryesor në teorinë elektromagnetike. Vlerat e tyre (të cilat janë gjithashtu të përcaktuar) në njësi SI të marra nga NIST janë tabuluar më poshtë:

Në një mjedis material
Shpejtesi e drites ne nje mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapes ( jo-dispersiv) eshte


 * $$c = { c_0 \over n } = { 1 \over \sqrt{ \mu \varepsilon } } $$

ku


 * $$ n = \sqrt{ \mu \varepsilon \over \mu_0 \varepsilon_0  } $$

eshte indeksi i refraktimit te mjedisit, $$\ \mu$$ eshte permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe $$\ \varepsilon$$ eshte permitiviteti elektrik i mjedisit

Konservimi i ngarkeses elektike
Konservimi i ngarkeses kerkon qe shpejtesia e ndryshimit ne kohe te te gjithe ngarkeses elektrike te kufizuar brenda nje volumi V duhet te jete e barabarte korrentin total qe rrjedh ne siperfaqen S e cila permbyll volumin V:


 * $$ \oint \limits_S \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A} = - {d \over d t} \int \limits_V \rho \cdot dV$$

ku j eshte densiteti i korrentit (ne Amper per meter katror) qe rrjedh permes siperfaqes dhe ρ eshte densiteti i korrentit (ne kulomb per meter kub) ne cdo pike te volumit.

Nga teorema e divergjences, ky relacion mund te konvertohet nga forma integrale ne ate diferenciale:


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t} $$

Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit
Ne formen e tij origjinale, Ligji i forces se Amperit jep lidhjene midis fushes magnetike B dhe densitetit te korrentit j:


 * $$ \oint \limits_C \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \iint \limits_S \mu \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}$$

ku S eshte nje siperfaqe e hapur e kufizuar nga nje kurbe C. Kjo forme integrale mund te shnderrohet ne formen diferenciale me ane te teoremes se Stouks:


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} $$

Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike
Po te marrim divergjencen e te dyja aneve te ligjit te forces se Amperit kemi:


 * $$ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j}$$

Divergjencae e rrotacionit te cdo fushe vektoriale, perfshire fushen magnetike B, eshte gjithmone zero:


 * $$ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B}) = 0$$

Po te kombinojme keto dy ekuacione del se


 * $$\nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j} = 0$$

Per shkak se $$ \ \mu_0$$ eshte nje konstante jo-zero, rrjedh se


 * $$\nabla \cdot \mathbf{j} = 0$$

Megjithate, ligji i ruajtjes se ngarkeses elektrike thote se


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t } $$

Pra, si ne rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forces se Amperit eshte i vertete vetem ne ato raste kur kemi te bejme me nje situate qe perfshin nje densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e perfshin situaten qe ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te nje kapacitori.

Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit
Ligji i Gausit ne formen integrale pohon se:


 * $$ \oint \limits_S \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \limits_V \rho \cdot dV \ ,$$

ku S eshte nje siperfaqe e mbyllur qe kufizon nje volum V. Kjo forme intgrale mund te konvertohet ne formen diferenciale duke perdorur teoremen e divergjences:


 * $$ \nabla \cdot \varepsilon_0 \mathbf{E} =  \rho $$

Po te marrim derivatin kohor te te dyja aneve dhe te nderrojme radhen e diferencimit ne anen e majte marrim:


 * $$ \nabla \cdot  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }     = { \partial \rho \over \partial t}$$

Ky rezultat i fundit se bashku me ligjin rrethor te Amperit ( ligjin e forces se Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes se ngarkeses elektrike, sugjeron se aktualisht kemi dy burime origjine te fushes magnetike: densedia e korrentit j, sic e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi korrent zhvendoses:


 * $$  {\partial  \mathbf{D}   \over \partial t }   =  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }  $$

Keshtu qe forma e rregullt e ligjit te forces se Amperit behet:


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0  {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t } $$

Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike


Ne publikin e tij te 1864 te titulluar Nje teori Dinamike e fushes elektromagnetike, Maksuelli perdori korrigjimin e ligjit te forces se Amperit te cilin ai kishte bere ne pjesen e III te publikimt te 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI te publkimt te 1864 te titulluar 'TEORIA ELEKTROMAGNETIKE E DRITES', Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione te tjera te elektromagnetismit per te marre ekuacionin e vales elektromganetike me shpejtesi te barabarte me ate te drites. Ai komentoi:


 * Renia dakort e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi jane ngacmime te te njejtes substance, si dhe drita eshte nje vale elektromagnetike qe perhapet permes nje fushe sipas ligjeve te lelktromagnetizmit.

Derivimi i Maksuellit per ekuacionin e fushes elektromagnetike eshte zevendesuar ne fizken moderne nga nje metode shume me e thjeshte qe perfshin kombinimin e versionit te korrektuar te ligjit te forces se Amperit me ligjin e induksionit te Faradeit.

Ne menyre qe te marrim ekuacionin e vales elektromagnetike ne boshllek duke perdorur metoden moderne, mund te fillojme me formen 'Hevisajd' te ekuacioneve te Maksuellit. Ne vakum keto ekuacione jane:


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}$$


 * $$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$$


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}$$

Po te marrim rrotacionin e rrotacionit te ekuacioneve kemi:
 * $$ \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} $$


 * $$ \nabla \times \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{E} = -\mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$

Duke perdorur identitetin vektorial


 * $$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}$$

ku $$ \mathbf{V} $$ eshte nje fuksion vektorial i hapesires, marrim ekuacionin e vales:


 * $$ {\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} \ - \ {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{E}  \ \ = \ \ 0$$


 * $$ {\partial^2 \mathbf{B} \over \partial t^2} \ - \ {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{B}  \ \ = \ \ 0$$

ku


 * $$c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 $$ meter per sekonda

eshte shpejtesia e drites ne boshllek.

Forma kovariante e ekuacionit homogjen te vales
Keto ekaucione relativiste mund te shkruhen ne forme kovariante si


 * $$\ \Box^2 A^{\mu} = 0$$

ku potenciali 4-dimensional elektromagnetik eshte


 * $$A^{\mu}=(\varphi, \mathbf{A} c)$$

Me konditen e madhesise se Lorencit:


 * $$\partial_{\mu} A^{\mu} = 0\,$$.

Ketu


 * $$\Box^2 = \nabla^2 - { 1 \over c^2} \frac{  \partial^2} { \partial t^2}$$ eshte simbloi i operatorit d'Alembertian. Kutia katrore nuk eshte gabim tipografik ; ajo eshte simboli i ketij operatori.

Ekuacioni homogjen i vales ne hapesire kohen e kurbuar
Ekuacioni i vales elektromagnetike modifikohet ne dy menyra, derivati zevendesohet me derivation kovariant dhe nje term i ri qe varet ne kurbaturen e hapesire-kohes shfaqet tek ekuacioni.


 * $$ - {A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0 $$

ku


 * $$ {R^{\alpha}}_{\beta}   $$

eshte tensori i kurbatures i Ricit dhe pikepresja tregon diferencimin kovariant.

Pergjithesimi i kondites se madhesise se Lorencit ne hapesiren e kurbuar merret parasysh ketu:


 * $$ {A^{\mu}}_{ ; \mu} =0  $$.

Ekuacioni johomogjen i vales elektromagnetike
Ngarkesa locale dhe densitete te korrentit qe ndryshojne ne kohe veprojne si burime te ngarkeses elektromagnetike ne boshllek. Ekuacionet e Maksuellit mund te shkruhen ne formen e ekuacionit te vales me burime. Shtimi i burimeve tek ekuacioni i vales i ben ekuacionet diferenciale pjesore jo-homogjene.

Zgjidhje te ekuacionit homogjen te vales elektromagnetike
Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit te vales elektromagnetike eshte nje superpozim linear i valeve te formes


 * $$ \mathbf{E}( \mathbf{r}, t ) =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )  $$

dhe


 * $$ \mathbf{B}( \mathbf{r}, t ) =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )  $$

e cila virtualisht eshte e sakte per cdo funksion qe sillet mire g me nje argument pa permasa φ, ku
 * $$ \ \omega $$ eshte frekuenca kendore (ne radian per sekonda), dhe
 * $$ \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z) $$ eshte vektori i vales (ne radiane per meter).

Edhe pse funksioni g mund te jete dhe zakonisht eshte nje vale sinusoidale monokromatike, ajo mund te mos jete sinusoidale, ose periodike. Ne praktike, g nuk mund te kete nje periodicitet infinit sepse cdo vale elektromagnetike ka nje zgjerim te kufizuar ne hapesire dhe ne kohe. Si rezultat i kesaj, dhe bazuar ne teorine e dekompozimit te Furierit, nje vale reale konsiston si nje mbivendosje e nje bashkesie te pafundme frekuencash sinusoidale.

Per me teper, per nje zgjidhje te sakte, vektori i vales dhe frekuenca kendore nuk jane madhesi te pavarura; keto madhesi aderojne sipas relacionit dispersiv:


 * $$ k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } $$

ku k eshte numri valor dhe λ eshte gjatesia e vales.

Gjendja monokromatike, sinusoidale
Bashkesia me e thjeshte e zgjidhjeve te ekuacionit te vales rezulton duke hipotezuar se forma sinusoidale e nje frekuece te vetme ne forme te ndare:


 * $$\mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathrm {Re} \{ \mathbf{E} (\mathbf{r} ) e^{ j \omega t }  \}$$

ku
 * $$j \, $$ eshte njesia imagjinare,
 * $$ \omega = 2 \pi f \, $$''' eshte frekuenca kendore ne radian per sekonda,
 * $$ f \, $$ eshte ''' frekuenca ne herc, dhe
 * $$ e^{j \omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t) \, $$ eshte formula e Ojlerit.

Zgjidhjet e vales planare
Konsideroni nje plan te percaktuar nga nje vektor njesi pingul
 * $$ \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k } $$.

Atehere zgjidhjet e vales planare te ekuacionit te vales jane
 * $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } $$

dhe
 * $$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = B_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } $$

ku
 * $$ \mathbf{r} = (x, y, z) $$ eshte vektori i pozicionit (ne metra).

Keto zgjidhje paraqesin nje vale planare qe udheton ne drejtimin e vektorit pingul $$ \mathbf{n} $$. Po ta percaktojme drejtimin z si drejtimin e $$ \mathbf{n} $$ dhe drejtimin x si drejtimin e $$ \mathbf{E}  $$, atehere nga ligji i Faradeit vijat e fushes magnetike shtrihen ne drejtimin y dhe lidhen me fushen elektrike nga relacioni


 * $$   c  {\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t} $$.

Per shaka se divergjenca e fushes elektrike dhe magnetike jane zero, nuk ka fusha ne drejtimin e propagimit te vales.

Kjo zgjidhje eshte zgjidhja e polarizimit linear te ekuacionit te vales. Ekzistojne edhe zgjidhje qe jane te polarizuara ne menyre rrethore ne te cilat fusha rrotullohet rreth vektorit normal.

Dekompozimi spektral
Per shkak te lineraitetit te ekuacioneve te Maksuellit ne vakum, zgjidhjet mund te dekompozohen ne nje superpozim sinusoidesh. Kjo eshte idea themelore e metodes se transformimit te Furierit per zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Zgjidhja sinusoidale e ekuacionit te vales elektromagnetike merr formen




 * $$ \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )  $$

dhe
 * $$ \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )  $$

ku
 * $$ \ t $$ eshte koha (ne sekonda),
 * $$ \ \omega $$ eshte frekuenca kendore (ne radian per sekonda),
 * $$ \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z) $$ eshte vektori i vales (ne radiane per meter), dhe
 * $$ \phi_0 \,$$ eshte kendi fazor (ne radiane).

Vektori i vales eshte i lidhur me frekuences kendore nga


 * $$ k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } $$

ku k eshte numri i vales dhe λ eshte gjatesia e vales.

Spektri elektromagnetik eshte nje graf i madhesive te fushes (ose energjise) si funksion i gjatesise se vales.

Zgjidhje te tjera
Zgjidhje analitike sferikisht simetrike dhe cilindrikisht simetrike jane te mundura per ekeuacionin e vales elektromagnetike. Ne kordinata cilindrike ekuacioni i vales mund te shkruhet si me poshte:


 * $$ \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{E}_0 \cos( \omega t -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}  $$

dhe
 * $$ \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{B}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}  $$

Teoria dhe eksperimenti

 * Ekuacionet e Maksuellit
 * Ekuacioni i vales
 * Drita
 * Spektri elektromagnetik
 * Optika

Aplikime

 * Ylberi
 * Lazeri
 * Fotografia
 * Radari

Artikuj gazetash

 * Maxwell, James Clerk, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Libra te nivelit universitar

 * Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
 * Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
 * Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
 * David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
 * Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 * Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9
 * Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 * Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

Libra te nivelit post-universitar

 * Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)

Analiza vektoriale

 * P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
 * H. M. Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

Biografia

 * Andre Mari Amperi
 * Albert Ajnshtajn
 * Majkell Faradei
 * Henrik Herc
 * Oliver Hevisajd
 * Xhejms Klark Maksuell

Уравнение на електромагнитните вълни Electromagnetic wave equation משוואת הגל האלקטרומגנטי Równanie fali elektromagnetycznej