Kombinacioni

Kombinacioni është njëri prej kuptimeve themelore të kombinatorikës. Përkufizim: Ç'do nënbashkësi me k elemente e zgjedhur nga një bashkësi me n elemente quhet kombinacion pa përsëritje i klasës k prej n elementesh. P.sh të gjitha kombinacionet e klasës së tretë të bashkësisë
 * $$A={a,b,c,d}$$

janë:
 * $$[a,b,c] [a,b,d] [a,c,d] [b,c,d]$$

Problem kryesor në lidhje me kombinacionet është gjetja e numrit të tyre. Numrin e kombinacioneve të klasës k prej n elementesh e shënojmë me

$${n\choose k}$$

Ky numër mund të njehsohet sipas formulës së mëposhtme:

$${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)...1}$$

p.sh.:

$${5\choose 2}=\frac{5.4}{2.1}=\frac{20}{2}=10$$

$${6\choose 2}={15}$$

Trekëndëshi i Pascalit
Trekëndëshi i Pascalit i jep vlerat e numrit të kombinacioneve, ky trekëndësh në të shumtën e rasteve jepet në trajtën e një trekëndëshi barabrinjës. Ne këtu e kemi dhënë në trajtën e një trekëndëshi kënddrejt numrash sipas rrjeshtave n dhe sipas kolonave k. Në prerjen e rrjeshtit n me kolonën k e vendosim numrin $$n\choose k$$. Duke u bazuar në formulën rekurrente

$$n\choose k $$=$$n-1\choose k $$+$$n-1\choose k-1 $$

e cila tregon se ç'do element i tabelës i cili nuk i takon rrjeshtit të parë ose kolonës së parë është i barabartë me shumën e elementit mbi të dhe e fqiut të tij të majtë

Figura:Pastedpic_01152009_232346.png‎ trekëndëshi i Pascalit

التوافيق Kombinace Kombinatorik Combination Kombinaĵo (kombinatoriko) Kombinaatio Combinaison (mathématiques) Kombináció Kombinasi Combinazione 組合せ (数学) 조합 Kombinācija Combinatie (wiskunde) Kombinacja bez powtórzeń Combinação (matemática) Сочетание Комбинација Kombination (matematik) சேர்வு (கணிதம்) การจัดหมู่ Kombinasyon Комбінації з n по k تولیف 組合

Numri i kombinacioneve me përsëritje
Ky numër mund të llogaritet si vijon:


 * $${{(n + k - 1)!} \over {k!(n - 1)!}} = {{n + k - 1} \choose {k}} = {{n + k - 1} \choose {n - 1}}$$

p.sh nëse kemi 10 lloje objektesh(n) dhe duhet të zgjedhim 3 (k) atëherë (10 + 3 &minus; 1)!/[3!(10 &minus; 1)! = 220 mënyra zgjedhjeje (shih multibashkësia).

Kjo mund të spjegohet kështu. Supozojmë se kemi n + k kuti të njejta të renditura linearisht. Prej këtyre kutive(përveç të parës), rastësisht zgjedhim k prej tyre dhe kutinë e zgjedhur e kuptojmë si të zbrazët. Kutitë e mbetura mund të plotësohen me n elemente nga bashkësia S. Për ç'do kuti jo të zbrazët e cila pasohet nga M kuti të zbrazëta, ne zgjedhim elementin korrespondues nga kutia jo e zbrazët M herë. Si rezultat, ç'do renditje apo zgjedhje e kutisë së zbrazët i korrespondon një zgjedhje e k elementeve prej n elementeve prej të cilave disa ose të gjitha mund të përsëriten. Pra numri i kombinacioneve me përsëritje është:


 * $$ {n+k-1 \choose k}. $$