Mekanika e Hamiltonit

Mekanika e Hamiltonit eshte nje ri-formulim i  mekanikes klasike qe u paraqit per here te pare ne 1833 nga matematikani Irlandez Uilliam Rouan Hamilton. Si teori u ngrit ne baze te mekanikes se Lagranzhit, nje riformulim tjeter i mekanikes klasike, i dhene nga Jozef Luiz Lagranzhi ne 1788. Megjithate teoria mund te formulohet pa mbeshtetje ne mekaniken e Lagranzhit,  duke perdorur hapesira simplektike. Shikoni seksionin mbi formulimin matematik per kete. Metoda e Hamiltonit ndryshon nga menyrae e Lagranzhit sepse ne vend qe te shpehet nepremjet konditave te ekuacioneve diferencile te rendit te dyte ne nje  hapesire kordinative n-dimensionale,  ajo jepet nga kondita te ekuacioneve te rendit te pare ne nje hapesire faze 2n-dimensionale.

Ashtu si ne mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e Hamiltonit japin nje kendveshtrim te ri dhe ekuivalent te mekanikes klasike. Pergjithesisht, keto ekuacione nuk jane shume te pershtatshme per zgjidhjen e problemeve praktike. Megjithate, ato na lejojne te shikojme me thelle ne strukturen e pergjithsme te mekanikes klasike dhe lidhjes se saj me mekaniken kuantike sic jepet nga formalizmi Hamiltonian. Per me teper metoda ka aplikime edhe ne dege te tjera te shkences.

Një paraqitje e thjeshtuar e përdorimit te metodës
Per nje system te mbyllur shuma e energjisë kinetike me energjinë potenciale jepet nga nje set ekuacionesh diferenciale te njohura si 'ekuacionet e Hamiltonit’'  per atë sistem. Funksioni Hamiltonian mund te perdoret per te pershkruar sisteme te thjeshta si nje top qe perplaset poshte e larte, nje lavjerres ose lekundjet e nje suste ne te cilen energjia ndryshon nga kinetike në potenciale ne meyre te vazhdueshme gjate nje intervali kohor. Funksionet Hamiltoniane mund te perdoren ne modelimin e energjise ne sisteme komplekse dinamike si orbitat planetare apo ne mekaniken kuantike.

Ekuacionet e Hamiltonit jepen si me poshte:


 * $$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$$
 * $$\dot q =\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$$

Ne ekuacionet e mëlartme, pika tregon derivatin e zakonshëm te funksionit ne lidhje me kohen, p = p(t) (te quajtura momenti i pergjithshem) dhe q = q(t) (te quajtura kordinatat e pergjithshme), te cilat marrin vlera ne nje hapesire vektoriale te caktuar, tani $$\mathcal{H}$$ = $$\mathcal{H}(p,q,t)$$ eshte i ashtëquajturi funksion Hamiltonian, ose funksioni skalar Hamiltonian. Ne menyre më eksplicite kjo jepet si:


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)$$
 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t),q(t),t)$$

qe cakton fushen e vlerave ku parametri t ("koha") ndryshon.

Per nje derivim te detajuar te ketyre ekuacioneve shikoni mekaniken e Lagranzhit me poshte.

Interpretimi fizik, mnemoteknika
Interpretimi me i thjeshte i ekuacioneve te Hamiltonit jepet me poshte, duke i aplikuar ato ne nje system nje-dimensional qe perbehet nga nje thermije e vetme me mase  m  per te  cilen eshte i vërtetë konservimi i energjise: Funksioni Hamiltonian $$\mathcal{H}$$ përfaqeson energjinë e sistemit, e cila eshte shuma e energjisë kinetike dhe asaj potenciale, tradcionalisht te quajtura T & V, respektivisht. Ketu q eshte kordinata  xdhe momenti p ,ose  mv. Atehere


 * $$\mathcal{H} = T + V, \quad T = \frac{p^2}{2m} , \quad V = V(q) = V(x). $$

Vini re se T eshte nje funksion vetem i p ,kurse V eshte nje funksion vetem i x (ose q).

Tani derivati ne lidhje me kohen i momentit p eshte i barabarte me forcen Njutoniane, keshtu që ketu ekuacioni i pare i Hamiltonit tregon që forca mbi thermijen eshte e barabarte me shpejtesine e ndryshimit te humbjes së energjise potenciale ne lidhje me ndryshimet ne pozicionin   x,. (Forca jepet nga minus gradienti i energjise potenciale.) Derivati-kohor i q ketu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dyte i Hamiltonit tregon se shpejtesia e therrmijes eshte e barabarte me derivatin e energjise kinetike ne lidhje me momentin.(Per derivatin ne lidhje me  p te  p2/2m e barabarte me  p/m = mv/m = v.)

Përdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit

 * 1) Së pari shkruani funksionin e Lagranzhit L = T – V. Shkruaj  T dhe  V sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit për sistemin ne fjalë.
 * 2) Llogarit impulsin duke diferencuar funksionin e Lagranzhit ne lidhje me shpejtësine.
 * 3) Shprehni shpejtesite ne varësi te impulsit duke manipuluar relacionin qe morët ne hapin e dyte(2).
 * 4) Llogarit funksionin Hamiltonian duke përdorur përcaktimin e zakonshëm.

$$\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}$$. Shndërro shpejtësite me rezultatin qe morët ne hapin e tretë (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.

Shenime
Se pari nje sqarim mbi atë qe ne ketë artikull kemi quajtur moment, momenti ketu percaktohet si p = mv. Ne tekstet shqiptare kjo madhesi zakonisht quhet impuls. Kjo nuk eshtë e sakte sepse impulsi eshte ndryshimi i momentit.Per hollesi te metejshme shikoni artikujt mbi impulsin dhe momentin.

Ekuacionet e Hamiltonit jane terheqese ne thjeshtesine e tyre mahnitese me simetrine paksa te (thyer ) Ato jane analizuar nga çdo këndvështrim i mundshem, qe nga fizika e thjeshte deri te gjeometria simplektike. Shume dihet mbi zgjedhjet e ketyre ekuacioneve, megjithate ne rastin e pergjithshem, zgjedhjet ekzakte te ekuacioneve te levizjes nuk mund te jepet ne menyre eksplicite per nje system me më shumë se dy pika lendores. Rezultati i madhesive te konservuara  luan nje rol shume te rendesishem ne kerkimin per zgjedjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyren e tyre. Ne modele me nje numer infinit gradash lirie, kjo eshte shumë me e komplikuar. Nje zone interesante dhe premtuese kerkimi eshtë studimi i sistemeve te integrueshme,ku nje numer i pafundem i madhesive konservuese mund te ndertohet.

Derivimi i ekuacioneve te Hamiltonit
Ne mund te derivojme ekuacionet e Hamiltonit duke analizuar se si funksioni Lagranzhian ndryshon kur ne ndryshojmë kohen dhe pozicionin e thërmijave.

$$ \mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \mathrm{d}t $$

Tani momenti(impulsi) i përgjithshem u percaktua si $$p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}$$ keshtu qe ekuacionet e Lagranzhit na tregojne se $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i $$ ku $$F_i$$  eshte forca e pergjithshme. Kjo mund te transformohet ne menyre qe të japi $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i $$ ku ky rezultat mund te zëvendesohet ne variacionin e funksionit Langrazhian $$ \mathrm{d}\mathcal{L} = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Kjo mund te rishkruhet si

$$ \mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i  \right ] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

dhe pas nje manipulimi te kesaj shprehjeje ne marrim $$ \mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L} \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Termi ne anen e majte eshte funksioni Hamiltonian qe ne percaktuam me pare, keshtu qe tani gjejme:

$$ \mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\mathrm{d}t $$

Ku barazimi i dyte eshte i vertetet per shkak te vete percaktimit te derivateve pjesore. Duke bashkuar termat nga te dyja anet, ekuacioni i mesiperm jep ekuacionet e Hamiltonit:



\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = F_j - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}. $$

Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikes se Lagranzhit
Duke filluar me mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e levizjes jane te bazuara ne kordinata te pergjithshme


 * $$\left\{\,  q_j     | j=1, \ldots,N \,\right\} $$

Duke shkruar shpejtesite e pergjithsme


 * $$\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} $$

Funksioni Lagranzhian mund te jepet si:


 * $$\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)$$

Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin N variabla te asaj madhesie.Mekanika  Hamiltoniane kerkon qe te zevendesoje variablat e shpejtesisie se pergjithshme me variablat e impulsit te pergjithshem, qe njihen gjithstu si   impulse i konjuguar. Duke vepruar ne kete menyre, eshte e mundure qe te trajtosh sisteme te caktuara, si per shembull aspekte te ndryshme te mekanikes kuantike, qe ndryshe do te ishin akoma me te veshtira.

Per cdo variable te shpejtesise se pergjithshme, ekziston nje variable e impulsit te konjuguar, qe percaktohet si:


 * $$p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$$

Ne kordinata Karteziane, impulse i pergjithshem eshte  impulsi linear. Ne kordinata rrethore polare, impulse i pergjithshem qe i korrespondon shpejtesise kendore eshte  impusli kendor. Per nje zgjedhje arbitrare kordinatash te pergjitshme, zakonisht nuk eshte e mundur qe ti japeh nje interpretim intuitive impulsit te konjuguar.

Nje gje qe nuk eshte shum e qarte ne kete formulim qe varet nga sistemi kordinativ eshte se kordinata te ndryshme te pergjithsme nuk jane gje tjeter vecse kordinatizime te dryshme te te njejtit manifold simplektik.

Funksioni Hamiltonian  eshte  transformimi  Lazhandrian i Funksionit Lagranzhian:


 * $$\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)$$

Ne qoftese ekuacionet e transformimit qe percaktojne kordinatat e pegjithshme jane te pavarura nga t, si dhe nqs funksioni  Lagranzhian eshte nje shume e produkteve te funksioneve  (ne kordinata te pergjithsme) qe jane homogjene ne rend zero,rend te pare ose te dyte, atehere mund te tregohet se  H eshte e barabarte me energjine e pergjithshme  E = T + V.

Cdo ane e relacionit $$\mathcal{H}$$ prodhon nje  diferencial:


 * $$\begin{align}

\mathrm{d}\mathcal{H} &= \sum_i \left[ \left({\partial \mathcal{H} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial p_i}\right) \mathrm{d}p_i \right] + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t\qquad\qquad\quad\quad \\  \\ &= \sum_i \left[ \dot{q}_i\, \mathrm{d}p_i + p_i\, \mathrm{d}\dot{q}_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_i}\right) \mathrm{d}\dot{q}_i \right] - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t \end{align}$$

Duke zevendesuar relacionin per impulsion e konjeguar ne kete ekuacion dhe duke analizua cdo koeficent, ne arrime ne ekuacionet e levizjes se mekanikes Hamiltoniane, te njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit:



\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t} $$

Ekuacionet e Hamiltonit jane ekuacione diferenciale te rendit te pare, pra ato jane shume me telehta per tu zgjidhur ne krahaim me ekuacionet e Lagranzhitte cilat jane te rendit te dyte. Megjithate hapat qe duhen marre per te arritur te keto ekuacione jane shume me te veshtira ne krahasim me ato te mekanikes se Lagranzhit –duke filluar me kordinatat e pergjithsme te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, te shprehim cdo shpejtesi te pergjithshme me ane te impulsit te konnjguar, si dhe te zevendesojme shpejtesite e pergjithsme ne funksionin Hamiltonian me impulse e konjguara. Pra me nje fjale,sic shikohet, nuk ka ndonje ndyshim te madh ne sasine e punes qe duhet bere per te zgjidhur nje problem ne mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekaniken e Lagranzhit. Ne fund te fundit, ajo jep te njejten zgjedje si ne mekaniken e Lagranzhit ose edhe me thjesht nga ligjet e Njutonit. Arsyeja thelbesore per menyren terheqese te metodes se Hamiltonit eshte fakti se ajo tregon bazat e nje structure teper te thelle te mekanikes klasike.

Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane
Nje system Hamiltonian mund te shikohet sin je tufe fibrash (matematike) E mbi kohen R, me nje fiber  Et, ku t ∈ R eshte pozicioni ne hapesire. Funksioni Lagranzhian eshte nje funksion mbi nje tufe xhetesh J mbi  E; duke marre transformimin  Lazhandrian ne lidhje me fibrat te funksinonit Lagranzhian, kjo jepnje funksion ne nje tufe duale fibra e se ciles  t eshte  hapesira kotangjente T*Et, e cila eshte e pajisur me nje  forme simplektike natyrale, ky funksion eshte funksioni Hamiltonian.

Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit
Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit eshtë i vlefshëm në mekaniken klasike, por jo per mekaniken kuantike, sepse ekuacionet diferenciale qe diskutuam më lart marrin parasysh qe ne kemi mundesine te kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe momentin (impulsin) e thërmijes per çdo moment në kohe. Megjithate, ekuacionet mund te përgjithësohen edhe me tej, si për shembull ne mekaniken kuantike ose edhe ne mekaniken klasike duke shfrytezuar transformimet nepermjet algjebres se Puasonit mbi p dhe  q  ,deri te algjebra e  parantezave te Mojalit. Ne kete rast, forma më e pergjitshme e ekuacioneve të Hamiltonit eshte


 * $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, \mathcal{H}\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

Ku f eshte nje funksion i p dhe  q, dhe  H eshte funksioni Hamiltonian. Per te gjetur rregullat per te llogaritur nje paranteze Puasoni pa perdorur ekuacione diferenciale ,referoju artikullit mbi  algebren e Liut; nje paranteze  Puasoni eshte emri i nje paranteze te Liut ne algjebren e Puasonit.

Ne fakt, kjo menyre algjebrike jo vetem qe na lejon që te zgjerojme nocionin e distribucionit te probabilitetit ne hapesiren fazale ne distribucionin e kuazi-probabilitetit te Wignerit, por gjithashtu eshte nje metode më e fuqishme veçanrisht ne trajtimin klasik, ku ndihmon per analizimin e  madhesive te konservuara në një sistem.

Formalizimi matematik
Për cdo funksinon H qe ka vlere reale dhe eshte i lemuar ne nje manifold simplektik ne mund te percaktojme nje  sistem Hamiltonian. Funksioni H njihet si  Hamiltoniani ose funksioni i energjise. Manifoldi simplektik ne kete rast quhet hapesire fazale. Funksioni Hamiltonian indukton nje fushe vektoriale speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si fusha vektoriale simplektike.

Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shakton nje rrjedhe Hamiltoniane ne manifold. Kurbat integrale të fushes vektoriale janë nje familje me një parameter e transformimeve ne manifold; parametri i kurbave zakonisht quhet kohe. Evolucioni kohor ne kete rast jepet nga simplektomorfizmat. Nga  Teorema e Ljuvilit, çdo simplektomorfizem ruan  formen e volumit ne  hapesiren fazale. Grumbullimi i simplektomorfizmave te shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet mekanika e Hamiltonit e sistemit Hamiltonian.

Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu nje veprim special te quajtur, parantezat e Puasonit. Parantezat e Puasonit veprojne mbi funksione ne nje manifold simplektik, duke i dhene hapesires se funksioneve nje structure qe quhet algjebra e Liut.

Le te kemi nje funksionte caktuar f


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.$$

Neqoftese kemi nje distribucion probabiliteti, ρ,atehere (neqoftese shpejtesia ne hapesiren fazale  ($$ {\dot p_i}, {\dot q _i}  $$) ka divergjencë zero, dhe probabiliteti ruhet ) ne kete rast mund te tregohet se derivati konvektiv eshte zero ,pra


 * $$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho ,\mathcal{H}\,\}.$$

Kjo quhet teorema e Ljuvilit. Cdo  funksion i lemuar G mbi nje manifold simplektik prodhon nje familje simplektomorfizmash me nje parameter dhe neqoftese  { G, H } = 0, atehere  G eshte nje madhesi qe ruhet dhe  simplektomorfizmat në kete rast jane transformime simetrie.

Nje Hamiltonian mund te kete shume madhesi te konservuara  Gi.  Neqoftese manifold simplektik ka nje dimension 2n si dhe ekzistojne n madhesi funksionale te pavarura Gi  te cilat jane te barabarta me inversin e tyre  (pra, { Gi, Gj } = 0), atehere funksioni Hamiltonian eshte funksion Ljuvilan i integrueshem. Teorema e Ljuvil–Arnoldit thote se lokalisht çdo funksion Hamiltonian qe eshte nje funksion Ljuvilan i integrueshem, mund te transformohet nepermjet nje simplektomorfizme ne nje funksion te ri Hamiltonian ku madhesite e konservuara Gi veprojne si kordinata;  Keto kordinata te reja quhen  kordinatat e kendeve te veprimit. Funksioni i transformuar Hamiltonian varet vetem te Gi, keshtu qe ekuacionet e levizjes kanë nje forme me te thjeshte $$ \dot{G}_i = 0, \qquad \dot{\varphi}_i = F(G), $$ Për disa funksione F (Arnol'd et al., 1988). Ekziston nje fushe e tere qe merret me studimin e devijimeve te vogla nga sistemet e integrueshme. Themelore ne kete dege eshte Teorem KAM.

Integrimi i fushave vektoriale Hamiltoniane eshte nje pyetje e hapur. Pergjithesisht, çdo sistem Hamiltonian eshte kaotik; konceptet e matjes, kompletesise, integimit dhe stabilitetit jane te percaktuara ne nje menyre shumë të dobët. Në keto kohra, studimi i sistemeve dinamike eshte më shume kualitativ sesa kuantitativ, prandaj ajo qe mbetet per tu bërë eshte vendosja e ketyre koncepteve mbi baza me forta matematike që lejojnë per modelime dhe llogaritje.

Manifoldet Rimaniane
(Ky seksion eshte i lidhur nga Gjeodeziku)

Nje rast special ndodh kur kemi funksione Hamiltoniane qe janë forma kuadratike, pra, Hamiltoniane qe mund te shkruhen si


 * $$\mathcal{H}(q,p)= \frac{1}{2} \langle p,p\rangle_q$$

Ku $$\langle\cdot,\cdot\rangle_q$$  eshte nje kometrike ne një fibër $$T_q^*Q$$,  e cila ndodhet ne hapesiren kotangente ne piken q ne hapesiren e konfigurimit. Ky funksion Hamiltonian jepet i teri nga termi kinetik.

Neqoftese marrim parasysh nje manifold Rimanian ose nje manifold pseudo-Rimanian, ne menyre qe te kete nje metrike te invertueshme, jo te degjeneruar, atehere kometrika jepet thjesht si inversi i metrikes. Zgjidhjet e ekuacioneve te Hamilton–Jakobit per kete funksion Hamiltonian jane te njejtat si gjeodeziket ne manifold. Ne menyre te vecante, rrjedha e funksionit Hamiltonian ne kete rast eshte e njejta gje me rrjedhen e gjeodezikut. Ekzistenca e zgjidhjeve te tilla, si dhe te qenit komplet i bashkesisie se zgjidhjeve, jane tema qe diskutohen me detaje ne artikullin mbi gjeodeziket. Shikoni gjithashtu edhe artikullin mbi Gjeodeziket si rrjedhe Hamiltoniane.

Manifoldet Nën-Rimaniane
Kur kometrika eshte e degjeneruar, ajo nuk eshte e invertueshme. Ne kete rast, nuk kemi nje manifold Rimanian, sepse nuk kemi nje metrike. Megjithate, funksioni Hamiltonian ekziston akoma. Në rastin kur kometrika eshte e degjeneruar ne cdo pike q te manifoldit ne hapesiren e konfigurimit Q, pra rendi i kometrikes eshte me pak se dimension i manifoldit  Q, ne kete rast kemi nje  manifold nen-Rimanian.

Funksioni Hamiltonian ne kete rast njihet si  Hamiltoniani nen-Rimanian . Cdo Hamiltonian percakton ne nje mënyre unike kometriken,dhe anasjelltas. Kjo implikon se çdo manifold nën-Rimanian percaktohet ne nje menyrë unike nga nje Hamiltonian nën-Rimanian, e anasjellta eshte gjithashtu e vertete: cdo manifold nen-Rimannian ka nje funksion Hamiltonian unik nen-Rimanian. Ekzistenca e gjeodezikeve nen-Rimaniane jepet nga teorema e Çow-Rashevskit.

Grupi real dhe i vazhdueshem  i Hajzenbergut jep nje shembull te thjeshtë te nje manifoldi nen-Rimanian. Per nje grup Hajzenbergu,funksioni Hamiltonian jepet nga


 * $$\mathcal{H}(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right)$$.

$$p_z$$ nuk përfshihet ne funksionin Hamiltonian.

Algjebra e Puasonit
Sistemet Hamiltoniane mund te përgjithesohen ne mënyra te ndryshme. Ne vend që të shikojme vetem per algjebrat e funksioneve te diferencueshem mbi nje manifold simplektik, mekanika e Hamiltonit mund te formulohet me ane te algjebres se Puasonit qe pergjithesisht eshte komutative unitare dhe reale. Nje gjendje eshte nje funksion linear i vazhdueshem ne algjebren e Puasonit (i pajisur me nje topologji te caktuar) e tille qe per nje element A te algjebres, A² lidhet me nje numer real jonegativ.

Nje përgjithesim i mëtejshem jepet nga dinamika e Nambu.

Thërmije e ngarkuar ne nje fushe elektromagnetike
Një ilustrim shumë i mirë i mekanikës së Hamiltonit jepet nga funksioni Hamiltonian i nje thërrmije të ngarkuar ne nje fushe elektromagnetike. Ne kordinata karteziane (pra $$ q_i = x_i $$), funksioni Lagranzhian i një grimce jo-relativiste ne nje fushe elektromagnetike eshte (ne Njesi SI):


 * $$ \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i e \dot{x}_i A_i - e \phi, $$

Ku e është ngarkesa elektrike e thërrmijes (mund te mos jetë e njejtë me ngarkesen e elektronit), $$\phi$$ ështe   potenciali skalar elektrik,dhe  $$A_i$$ jane komponentet e  potencialit vektorial magnetik (keto mund te modifikohen nëpërmjet një teknike që njihet si  transformimi i madhësive).

Momenti i pergjithshem mund te derivohet nga:


 * $$ p_j = \frac{\partial L}{ \partial \dot{x}_j} = m \dot{x}_j + e A_j. $$

Duke ri-rregulluar relacionin, mund te shprehim shpejtësite nëpërmjet momenteve si me poshte:


 * $$ \dot{x}_j = \frac{ p_j - e A_j }{m}. $$

Ne qoftese zevendesojme percaktimin e momentit (impulsit), dhe shprehim shpejtesite nepermjet momentit, ne percaktimin e funksionit Hamiltonian te dhënë më lart , pas thjeshtësimeve dhe manipulimeve të thjeshta kemi:


 * $$ \mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ (p_i - e A_i)^2 } {2 m } + e \phi. $$

Ky ekuacion përdoret shume ne mekanikën kuantike.

Shikoni gjithashtu

 * Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)
 * Mekanika e Lagranzhit
 * Transformimet kanonike
 * Mekanika klasike
 * Sistemet dinamike
 * Mekanika kuantike
 * Ekuacionet e Maksuellit
 * Teoria e fushes
 * Ekuacionet e Hamilton–Jakobit

Referenca

 * V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3]
 * Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
 * V.I. Arnol'd, V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
 * A. M. Vinogradov, B. A. Kupershmidt "The structure of Hamiltonian mechanics" (djvu), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London
 * Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
 * Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)