Analiza matematikore

E thënë shkurt Analiza Matematike është një studim rigoroz llogaritjesh. Një njehsim i tillë mund të mendohet si matematika e të pafundmeve, e si e tillë Analiza Matematike shpesh renditet si një nga arritjet më të mëdha, më të fuqishme dhe nga krijimet më të thella të mendjes njerëzore. Njehsimi diferencial përfshin një periudhë gati 2500 vjeçare, duke filluar me Pitagorën, deri sa vimë në shekullin e nëntëmbëdhjetë kur u hodhën bazat e para reale e të qëndrueshme të njehsimit diferencial. Gjatë shekujve shtatëmbëdhjetë dhe tetëmbëdhjetë njehsimi diferencial mori një zhvillim të madh duke u bërë një mjet i fuqishëm për të përshkruar fenomenet e fizikës, lëvizjen e planetëve, lëvizjet valore, si dhe ligjet e elektrodinamikës. Kjo periudhë karakterizohet nga një emergjencë e pothuajse te gjitha koncepteve me të cilët ndeshemi sot në çdo tekst të njehsimit diferencial. Por nëse njehsimi diferencial filloi të marrë jete në shekujt e XVII dhe XVIII, ai hodhi rrënjë të forta dhe pësoi një revolucion të vërtetë gjatë shekullit të XIX, gjatë të cilit u shfaqën idetë e tij bazë dhe që për herë të parë u kuptua ashtu siç duhej. Gjate kësaj periudhe teoria e njehsimit diferencial u rishkrua pre një grupi te vogël matematikanësh, ndërmjet te cilëve ishte Bolzano, Cauchy, Veierstrasi, Dedekindi dhe Cantori. Janë ata qe bene atë qe sot njihet si Analiza Matematike. Puna e tyre na jep ne mundësitë qe te kemi një kuptim solid për konceptin e limitit, vazhdueshmerise, derivatit dhe integralit.

Disa kuptime themelore
Le të marrim parasysh bashkësinë e numrave natyralë:

$$1,2,3, \ldots ,n,n+1, \ldots$$

të renditur në mënyrë të tillë që pas numrit $$n$$ vjen numri $$n+1$$. Tani sipas ndonjë rregulli ose ligji numrit $$1$$ i shoqërojmë numrin real $$a_{1}$$, numrit $$2$$ i shoqërojmë numrin real $$a_{2}$$, numrit $$3$$ i shoqërojmë numrin real $$a_{3}$$, e kështu me radhë, numrit $$n$$ i shoqërojmë numrin real $$a_{n}$$, e kështu me radhë. Këtë proces të shoqërimit e parafytyrojmë të vazhdueshëm në mënyrë të pafundme, dhe si rezultat i këtij procesi fitohet vargu:

$$a_{1},a_{2},a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots$$

Vargu i mësipërm quhet varg i pafundmë numerik dhe simbolikisht shënohet $$\{a_{n}\}$$. Tani le ta përkufizojmë vargun e tillë.

Përkufizim 1: Vargu $$\{a_{n}\}$$ quhet pasqyrimi $$f$$ i cili e pasqyron bashkësinë e numrave natyralë $$\mathbb{N}$$ në bashkësinë e numrave realë $$\mathbb{R}$$. Simbolikisht ky fakt mund të shkruhet:

$$f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$$

Si rrjedhim të këtij përkufizimi kemi implikacionin:

$$\forall n \in \mathbb{N} \implies a_{n}=f(n)$$

që do të thotë se vargu numerik qenka funksion (duhet të kemi parasysh se ai është rast i veçantë). Meqenëse vargu numerik qenka funksion atëherë normalisht se mund të flitet edhe për grafikun e tij. Le ta përkufizojmë grafikun e vargut numerik.

Përkufizim 2: Grafiku i vargut $$\{ a_{n} \}$$ quhet bashkësia e dysheve të renditura (bashkësia e pikave në sistemin koordinativ me koordinatat):

$$G_{f}=\{(n,f(n))|n \in \mathbb{N} \}$$

Limiti i vargut numerik
Kuptimi i limitit të vargut numerik është njëri ndër kuptimet themelore në analizën matematike në veçanti, dhe në tërë matematikën e lartë në përgjithësi.

Tani le ta përkufizojmë limitin e vargut numerik.

Përkufizim 3: Numri $$a$$ quhet limit i vargut $$\{ a_{n} \}$$ në qoftë se për çdo $$\epsilon > 0$$ (sa do i vogël të jetë) ekziston numri $$N(\epsilon)$$ i tillë që për të gjitha kufizat e vargut $$\{a_{n}\}$$ me indeksa $$n > N(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n} - a| < \epsilon\implies a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon$$

Simbolikisht ky fakt mund të shkruhet:

$$\lim_{n \to \infty}\ a_{n}=a$$

Në qoftë se numri $$a$$ ekziston atëherë vargu i tillë quhet varg konvergjent, ndërsa, kur numri $$a$$ nuk ekziston atëherë vargu i tillë quhet varg divergjent.

Le ta marrim një shembull dhe ta shohim në praktikë kuptimin e limitit të vargut numerik.

Shembull 1: Të tregohet se limit i vargut $$\{\frac{2n+1}{3n+2}\}$$ është numri $$\frac{2}{3}$$.

Vërtetim: Nisemi nga përkufizimi i limitit të vargut numerik.

$$|a_{n}-a|<\epsilon\implies|\frac{2n+1}{3n+2}-\frac{2}{3}|<\epsilon\implies
 * \frac{3(2n+1)-2(3n+2)}{3(3n+2)}|<\epsilon\implies|\frac{6n+3-6n-4}{9n+6}|<\epsilon\implies$$

$$\implies|\frac{-1}{9n+6}|<\epsilon\implies\frac{1}{9n+6}<\epsilon\implies1<9n\epsilon+6\epsilon \implies1-6\epsilon<9n\epsilon\implies\frac{1-6\epsilon}{9\epsilon}\frac{1-6\epsilon}{9\epsilon}=N(\epsilon)$$

Meqenëse për çdo:

$$n>\frac{1-6\epsilon}{9\epsilon}=N(\epsilon)$$

plotësohet jobarazia:

$$|\frac{2n+1}{3n+2}-\frac{2}{3}|<\epsilon$$

atëherë përfundojmë se:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}$$

Disa teorema të rëndësishme
Teoremë 1: Çdo varg konvergjent $$\{a_{n}\}$$ nuk mund të konvergjojë në dy limite të ndryshëm.

Vërtetim: Supozojmë të kundërtën:

$$\lim_{n\to\infty}\ a_{n}=a, \lim_{n\to\infty}\ a_{n}=b, a\neq b$$

Le të jetë $$b>a$$. Marrim një numër $$c$$ të tillë që $$a0$$ ekzistojnë numrat $$N_{1}(\epsilon)$$ dhe $$N_{2}(\epsilon)$$.

Meqenëse për të gjitha kufizat e vargut $$\{a_{n}\}$$ me indeksa $$n>N_{1}(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n}-a|<\epsilon\implies a-\epsilonN_{2}(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n}-b|<\epsilon\implies cc$$

Në përgjithësi meqenëse për të gjitha kufizat me indeksa:

$$n>N(\epsilon)=max(N_{1}(\epsilon), N_{2}(\epsilon))\implies a_{n}c$$

gjë që është e papranueshme sepse në të njëjtën kohë po plotësohen jobarazitë $$a_{n}c$$. Prandaj, nëse nuk vlenë e kundërta atëherë vlenë ajo çfarë thotë teorema se çdo varg konvergjent $$\{a_{n}\}$$ nuk mund të konvergjojë në dy limite të ndryshëm.

Teoremë 2: Çdo varg konvergjent $$\{a_{n}\}$$ është i kufizuar (Pohimi i anasjelltë nuk vlenë).

Vërtetim: Le të jetë dhënë vargu konvergjent $$\{a_{n}\}$$ dhe le të jetë numri $$a$$ limiti i tij. Sipas përkufizimit të limitit të vargut numerik, për çdo $$\epsilon >0$$ ekziston numri $$N(\epsilon)$$ i tillë që për të gjitha kufizat e vargut $$\{a_{n}\}$$ me indeksa $$n>N(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n}-a|<\epsilon \implies a-\epsilonN(\epsilon)$$ bëjnë pjesë apo janë elemente të intervalit $$[m,M]$$ atëherë përfundojmë se çdo varg konvergjent $$\{a_{n}\}$$ është i kufizuar.

Teoremë 3: Në qoftë se vargu $$\{a_{n}\}$$ konvergjon dhe për limit ka numrin $$a$$, atëherë çdo nënvarg $$\{a_{k_{n}}\}$$ i vargut të dhënë është konvergjent dhe për limit ka numrin $$a$$.

Vërtetim: Le të jetë dhënë vargu konvergjent $$\{a_{n}\}$$ dhe le të jetë numri $$a$$ limiti i tij. Meqenëse për çdo $$\epsilon>0$$ ekziston numri $$N(\epsilon)$$ i tillë që për të gjitha kufizat e vargut $$\{a_{n}\}$$ me indeksa $$n>N(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n}-a|<\epsilon \implies a-\epsilonk_{N(\epsilon)}$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{k_{n}}-a|<\epsilon$$

kjo tregon qartë se në qoftë se vargu $$\{a_{n}\}$$ konvergjon dhe për limit ka numrin $$a$$ atëherë çdo nënvarg i vargut të dhënë është po ashtu konvergjent dhe për limit ka numrin $$a$$.

Teoremë 4: Çdo varg monoton dhe i kufizuar është konvergjent.

Vërtetim: Vërtetimin e kësaj teoreme le ta bëjmë në dy pjesë, fillimisht për vargun monoton jozvogëlues e pastaj për vargun monoton jorritës.

Për vargun monoton jozvogëlues kemi:

Le të jetë $$a_{n}\leq a_{n+1}$$. Ky varg është i kufizuar nga sipër d.m.th. $$a_{n}\leq M$$. Le të jetë $$\alpha = sup\{a_{n}\}$$. Për të qenë $$\alpha$$ supremum apo kufi i përpiktë i sipërm i vargut $$\{a_{n}\}$$ duhet të plotësohen dy kushte. Së pari, çdo kufizë e vargut $$\{a_{n}\}$$ duhet të jetë më e vogël se numri $$\alpha$$, dhe së dyti, për çdo $$\alpha - \epsilon<\alpha$$ duhet të gjendet të paktën një $$a_{n_{0}}$$ nga vargu $$\{a_{n}\}$$ i tillë që $$a_{n_{0}}>\alpha-\epsilon$$. Vërejmë se në këtë rast kemi $$a_{n}\geq a_{n_{0}}$$. Tani fitojmë jobarazimet:

$$\alpha-\epsilon<a_{n_{0}}\leq a_{n}<\alpha+\epsilon\implies \alpha-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon \implies |a_{n}-\alpha|<\epsilon$$

që tregon se:

$$\lim_{n \to \infty}\ a_{n} = \alpha$$

Për vargun monoton jorritës kemi:

Le të jetë $$a_{n}\geq a_{n+1}$$. Ky varg është i kufizuar nga poshtë d.m.th. $$a_{n}\geq m$$. Le të jetë $$\alpha = inf\{a_{n}\}$$. Për të qenë $$\alpha$$ infimum apo kufi i përpiktë i poshtëm i vargut $$\{a_{n}\}$$ duhet të plotësohen dy kushte. Së pari, çdo kufizë e vargut $$\{a_{n}\}$$ duhet të jetë më e madhe se numri $$\alpha$$, dhe së dyti, për çdo $$\alpha + \epsilon>\alpha$$ duhet të gjendet të paktën një $$a_{n_{0}}$$ nga vargu $$\{a_{n}\}$$ i tillë që $$a_{n_{0}}<\alpha+\epsilon$$. Vërejmë se në këtë rast kemi $$a_{n}\leq a_{n_{0}}$$. Tani fitojmë jobarazimet:

$$\alpha-\epsilon<a_{n} \leq a_{n_{0}} < \alpha + \epsilon \implies \alpha-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon \implies |a_{n}-\alpha|<\epsilon$$

që tregon se:

$$\lim_{n \to \infty}\ a_{n} = \alpha$$

d.m.th. çdo varg monoton dhe i kufizuar është konvergjent.

Teoremë 5: Në qoftë se vargjet $$\{a_{n}\}$$ dhe $$\{b_{n}\}$$ konergjojnë dhe për limite kanë të njëjtin numër, numrin $$a$$ dhe vlejnë jobarazimet:

$$a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$$

atëherë edhe vargu $$\{c_{n}\}$$ konvergjon dhe për limit ka numrin $$a$$.

Vërtetim: Le të jenë dhënë vargjet konvergjente $$\{a_{n}\}$$ dhe $$\{b_{n}\}$$ si dhe le të jetë numri $$a$$ limiti i tyre. Në bazë të përkufizimit të limitit të vargut numerik, për çdo $$\epsilon>0$$ ekzistojnë numrat $$N_{1}(\epsilon)$$ dhe $$N_{2}(\epsilon)$$.

Meqenëse për të gjitha kufizat e vargut $$\{a_{n}\}$$ me indeksa $$n>N_{1}(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|a_{n}-a|<\epsilon\implies a-\epsilonN_{2}(\epsilon)$$ plotësohet jobarazia:

$$|b_{n}-a|<\epsilon\implies a-\epsilonN(\epsilon)=max(N_{1}(\epsilon), N_{2}(\epsilon))$$ plotësohen jobarazimet:

$$a-\epsilon<a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < a+\epsilon \implies a-\epsilon<c_{n}<a+\epsilon \implies |c_{n}-a|<\epsilon$$

që tregon se edhe vargu $$\{c_{n}\}$$ konvergjon dhe për limit ka numrin $$a$$, d.m.th.:

$$\lim_{n \to \infty}\ c_{n} = a$$

Teoremë 6: Le të jenë dhënë vargjet:

$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n},\ldots$$

$$b_{1},b_{2},b_{3},\ldots,b_{n},\ldots$$

Në qoftë se vargjet $$\{a_{n}\}$$ dhe $$\{b_{n}\}$$ janë konvergjente dhe për limite kanë numrat $$a$$ dhe $$b$$, atëherë vlejnë relacionet:

$$1. \lim_{n \to \infty}\ (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to \infty}\ a_{n} \pm \lim_{n \to \infty}\ b_{n} = a \pm b,$$

$$2. \lim_{n \to \infty}\ (a_{n} \cdot b_{n}) = \lim_{n \to \infty}\ a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty}\ b_{n} = a \cdot b,$$

$$3. \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty}\ a_{n}}{\lim_{n \to \infty}\ b_{n}} = \frac{a}{b}, (b\neq 0),$$

$$4. \lim_{n \to \infty}\ |a_{n}| = |\lim_{n \to \infty}\ a_{n}| = |a|.$$

Vërtetim: Vërtetimi do të bëhet së shpejti...

Me respekt, Fidan B. Abdiu - Student në Universitetin e Prishtinës...

Shiko dhe këtë

 * Logjika Matematikore
 * Teoria e Bashkësive
 * Algjebra
 * Teoria e numrave
 * Topologjia
 * Teoria e masës
 * Gjeometria=Planimetria, Stereometria

Lidhje të jashtme
تحليل رياضي Analisa Analysis Mathematical analysis Analitiko Análisis matemático Analyysi Analyse (mathématiques) אנליזה מתמטית 解析学 Analysis Analys (Mathematik) Matematinė analizė Analyse (wiskunde) Analiza matematyczna Análise matemática Математический анализ Matematična analiza Математичка анализа 数学分析