Ekuacioni i Shrodingerit

Ne fizike, vecanrisht ne mekaniken kuantike, ekuacioni i Shrodingerit eshte nje ekuacion qe pershkruan se si gjendja kuantike e nje sistemi fizik ndryshon ne kohe. Ekuacioni ne fjale eshte nje nga guret themelore te mekanikes kuantike ashtu si Ligjet e Njutonit jane per mekaniken klasike.

Ne interpretimin standart te mekanikes kuantike, gjendja kuantike, e cila gjithashtu njihet si funksioni valor ose vektori i gjendjes, eshte pershkrimi me i plote qe mund te jepet per nje sistem fizik. Zgjidhjet e ekuacionit te Shrodingerit pershkruajne sistemet atomike dhe nenatomike, elektronet dhe atomet, si dhe sistemet makroskopike. Ekuacioni eshte i emeruar sipas Ervin Shrodiner i cili e zbuloi ate ne 1926.

Ekuacioni i Shrodingerit mund te transformohet matematikisht ne formalizmin e Hajzenbergut, si dhe ne integralin e shtigjeve te Fajmanit. Ekuacioni i Shrodingerit pershkruan kohen ne nje menyre jo te dobishme per perdorim ne teorite relativiste, ky problem vihet me pak ne dukje per formulimin e Hajzenbergut si dhe mungon komplet ne formulimin mbi integralin e shtegjeve.

Ekuacioni i Shrodingerit
Ekuacioni i Shrodingerit eshte nje ekuacion i dhene ne shume forme te ndryshme.

Sistem kuantik i pergjithshem
Per nje sisstem kuantik te pergjithshem:


 * $$i\hbar {d\Psi \over dt} = \hat H \Psi$$

ku
 * $$\psi$$ eshte funksioni valor, i cili eshte amplituda e probabilitetit per konfigurime te ndryshme.
 * $$\scriptstyle \hbar$$ eshte ekuacioni i Plankut i pjstuar me $$2\pi$$, mund te vendoset me nje vlere 1 kur perdorim njesi natyrore.
 * $$\scriptstyle \hat H$$ eshte operatoriHamiltonian

Thermije e vetme ne tre dimensione
Per nje thermije te vetme ne tre dimensione:


 * $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V(x,y,z)\psi$$

ku
 * $$\psi$$ eshte funksioni valor, e cila eshte amplituda e probabilitetit per thermijen e cila ka nje pozicion te caktuar ne nje kohe te caktuar.
 * $$m$$ eshte masa e thermijes.
 * $$V(x,y,z)$$ eshte energjia potenciale qe thermija ka ne cdo pozicion.

Zhvillimi historik
Ajnshtajni i interpretoi kuantet e Plankut si fotone, thermijat e drites, dhe propozoi qe enrgjia e fotonit eshte ne perpjestim te drejte me frekuecen e tij, e cila vurin ne pah dualitetin misterioz grimce-vale. Meqense energjia dhe momenti jane te lidhura ne te njejten menyresi frekuenca dhe numri valor ne teorine e relativitetit, del qe momenti (impulsi) i nje fotoni eshte proporcinal me numrin valor te tij.

Hipotezat

 * (1) Energjia e plote E e therrmijes eshte


 * $$E= T + V = \frac{p^2}{2m}+V$$
 * Kjo eshte shprehja klasike per nje therrmije me mase m ku energjia totale E eshte shuma e energjise kinetike, $$\frac{p^2}{2m}$$, dhe energjise potenciale V. momenti i nje thermije eshte p, ose mase here shpejtesi.  Energjia potenciale merrte e tille qe ndryshoje me pozicionin, si edhe me kohen.


 * Vini re se energjia E dhe momenti p shfaqen ne dy relacionet e meposhtme :


 * (2) Hipoteza kuantike e Ajnshtjnit per driten e 1905, e cila pohon se energjia E e fotonit eshte ne perpjestim te drejte me frekuencen f te vales elektromagnetike korresponduese:


 * $$E = h f = {h \over 2\pi} (2\pi f)  = \hbar \omega \;$$
 * ku frekuenca f e kuantit te rrezatimit (fotoneve) jane te lidhura nga konstantja e Plankut h,
 * dhe $$\omega = 2\pi f\;$$ eshte frekuenca kendore e vales.


 * (3) Hipoteza e de Brojlit e 1924, e cila pohon se cdo therrmije mund te asociohet me nje vale, e cila paraqitet matematikisht nga nje funksion valor &Psi;, si dhe momenti p i therrmijes qe lidhet me gjatesine valore &lambda; te vales perkatese nga:


 * $$p = { h \over \lambda } =  { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;$$
 * ku $$\lambda\,$$ eshte gjatesia e vales dhe $$k = 2\pi / \lambda\;$$ eshte numri valor i vales.


 * Po te shprehim p dhe k si vektore, ne kemi
 * $$\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;$$

Shprehja e funksionit valor si nje vale planare komplekse
Ideja gjeniale e Shrodingerit, ne fund te 1925, qe qe te shprehte fazen e nje vale planare si nje faktor faze kompleks :
 * $$\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}$$

dhe te kuptonte se nga
 * $$ \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi $$

atehere
 * $$ E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi $$

dhe ne menyre te njejte meqenese:
 * $$ \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi $$

atehere
 * $$ p_x \Psi = \hbar k_x \Psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \Psi $$

keshtu qe:
 * $$ p_x^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi $$

pra, per nje vale planare, ai arriti tek:
 * $$ p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi $$

Duke futur keto shprehje per energjine dhe momentin ne formulen klasike arrime tek ekauacioni i famshem i Shrodingerit per nje therrmije te vetme ne rastin 3-dimensional ne prani te nje potenciali V:


 * $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi$$

Shiko gjithashtu

 * Mekanika kuantike
 * Ekuacioni i Dirakut
 * Numri Kuantik
 * Macja e Shrodingerit
 * Fusha e Shrodingerit
 * Piktura e Shrodingerit

Lidhje te jashme

 * Quantum Physics - nje liber qe trajton ekuacionin e Shrodingerit te pavarur nga koha
 * Linear Schrödinger Equation tek EqWorld: Bota e ekuacioneve Matematike.


 * Nonlinear Schrödinger Equation tek EqWorld: Bota e ekuacioneve Matematike.


 * The Schrödinger Equation in One Dimension si edhe directory of the book.


 * All about 3D Schrödinger Equation


 * Aspektet matematike te ekuacionit te Shrodingerit diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.


 * Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time dependent Schrödinger equation