Bra-ket

Ky artikull eshte mbi funksionin Langrazhian. Metoda e Langranzhit eshte nje formalizem analitik qe mbeshtetet ne parimin e veprimit minimial. Ky formulim u dha nga Jozef Luiz Lagranzhi ne 1785. Formalizmi i Langranzhit nuk eshte nje teori e re e Mekanikes Klassike por nje formulim alternative i saj. E botuar nga Langranzhi ne vepren e tij Mekanika Analitike. Baza matematike e formalizmit te Langranzhit eshte analiza matematike e variacionit. Ne kete rast funksionali percaktohet si $$L = T - U.$$ Vete veprimi percakohet si $$A = \int L(q,dq;t)$$ Sipas parimit te veprimit minimal per te gjitha shtegjet mes dy pikave natyra zgjedh ate qe minimizon veprimin. Ky postulat ne matematike jepet nga parimi i Hamiltonit.

Rendesia
Formulimi i Langranzhit eshte shume i rendesishem jo vetem per formulimin e mekanikes dhe bazen e gjere te aplikimeve, por edhe per rolin e tij te thelle ne zhvillimin e kuptimit te fizikes. Edhe pse Langranzhi kerkoi qe te pershkruante vetem mekaniken klasike, principi i veprimit qe perdoret per derivimin e ekuacioneve te Langranzhit tashme aplikohet edhe ne mekaniken kuantike.

veprimi fizik dhe faza (valet) mekaniko-kuantike jane te lidhura nga konstanja e Plankut, gjithashtu principi  i veprimit stacionar mund te kuptohet ne term ate interferences konstruktive te funksionit valor.

I njejti princip, se bashku me formalismin e Langranzhit, jane te lidhur ngushte me teoremen e Nedherit, e cila lidh madhesite e konservuar fizike me simetrine  e vazhduar ten je sistemi fizik.

Mekanika e Langranzhit dhe teorema e Netherit se bashku japin nje formalizem natyral te kuantizimit te pare duke perfshire komutatoret midis disa termave te caktuar te ekuacioneve te Langranzhit per ekuacionet e levizjes se nje sistemi fizik.

Avantazhe mbi metodat e tjera

 * Formulimi i Langranzhit nuk varet ne nje sistem koordinativ specifik -- ne te kundert, çfaredo variabel $$\varphi_i(s)$$ mund te perdoret per te pershkruar sistemin; Keto variable quhen "koordinata te pergjithshme" . Ato mund te jene te pavarura nga koordinatat e sistemit (per shembull, intensiteti i fushes magnetike ne nje pozicion te caktuar; kendi i nje rrotulle (e njohur ndryshe si makina Atud) ; pozicioni i nje pike materiale ne hapesire; grada e eksitimit te nje ajgenvlere te caktuar ne nje sistem komplex). Kjo e ben me te lehte qe ne teori te inkorporohen kufizime duke percaktuar nje teori ne te cilen koordinatat pershkruajne vetem gjendjen e sitemit qe kenaq keto kufizime te caktuara. Metoda matematike qe perdoret ne kete rast quhet shumezuesit e Langranzhit.


 * Neqoftese formulimi eshte i pandryshueshem nga simetrite, atehere ekuacionet resultante jane gjithashtu te pandryshueshme ne ate simetri te caktuar. Kjo eshte shume e rendesishme ne ato raste kur duhet te tregosh se formulimi i sistemit ne fjale eshte konsistent me teorine speciale te relativitetit ose me teorine e pergjishme te relativitetit.


 * Ekuacionet e derivuara me menyren e Langranzhit jane automatikisht konsistente duke mos lene vend per nje interpretim te dyfishte.

Shpjegim i teorise
Ekuacionet e levizjes ne mekaniken klasike merren nga principi i veprimit minimal, i cili jepet nga:


 * $$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$$

ku veprimi , S, eshte nje funksional


 * $$\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm{d}^ns},$$

dhe ku $${}{}{}{}\ s_\alpha $$ tregon bashkesine e parametrave te sistemit.

Ekuacionet e levizjes te mara nga menyra e derivatit te funksionalit jane identike me ekuacionet e Ojler-Langranzhit. Sistemet dinamike ne te cilat ekuacionet e levizjes merren nga principi i veprimit minimal per nje funksion Langranzhi te caktuar njihen si Sisteme Langrazhiane dinamike. Shembuj te ketyre sistemeve variojne qe nga versioni klasik i Modelit Standart, dhe ekuacionet e Njutonit, deri te probleme thjesht matematike si problemi i ekuacioneve te gjeodezikut apo Problemi i Platos.

Ne nje sistem kordinativ kartezian
Supozo se kemi nje hapesire tre-dimensionale dhe funksionin Langranzhian


 * $$L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})$$.

Atehere, ekuacioni i Ojler–Langranzhit eshte:


 * $$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0$$

ku $$i = 1, 2, 3$$.

Derivimi jep:


 * $$\frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}$$
 * $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \dot{x}_i \, \dot{x}_i \, \right) = \ m \, \dot{x}_i

$$
 * $$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i $$

Ekuacionet e Ojler–Langranzhit mund te shkruhen si:


 * $$m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$$

Ku derivati kohor eshte i shkruar ne menyren konvencionale me nje pike mbi madhesine qe po diferencohet, dhe $$\nabla$$ eshte operatori del.

Duke perdorur kete resultat, mund te tregohet shume thjeshte se menyra e Langranzhit eshte ekuivalente me ate Njutoniane.

Neqoftese forca shkruhet ne term ate potencialit $$\vec{F}=- \nabla V(x)$$; ekuacioni qe vijon eshte $$\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$$, i cili eshte i njejti ekuacion si ne menyren e Njutonit per nje objet me mase konstante.

Nje deduktim shume i ngjshem na jep shprehjen $$\vec{F}=\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$$, e cila eshte Ligji i Dyte i Njutonit ne formen e pergjithshme.

Ne nje sistem kordinativ sferik
Supozo se kemi nje system tre-dimensional hapesinor ku perdorim kordinata sferike $$r, \theta, \phi$$ me funksionin Langranzhian
 * $$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).$$

Atehere ekuacionet e Ojler–Langranzhit jane:


 * $$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,$$
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,$$
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.$$

Ketu bashkesia e parameteave $$s_i$$ eshte vetem koha  $$t$$, dhe variablat dinamike  $$\phi_i(s)$$ jane trajektoret $$\vec x(t)$$ e thermijes.

Edhe pse po perdorim variabla standarte si $$x$$, funksioni Langranzhian na lejon neve te perdorim cdo lloj kordinate, e cila mund edhe te mos jete ortogonale. Keto quhen "kordinata te pegjithshme".

Nje thermije klasike ne gravitetin Njutonian
Funksioni Langranzhian eshte  $$L \!$$ xhauls. Neqoftese na eshte dhene nje thermije me mase $$m \!$$ kilogram, dhe pozicion $$\vec{x}$$ metra ne nje fushe gravitacionale  Njutoniane me potencial $$\zeta \!$$ xhauls per kilogram. Trajektorja e ethermijes ne hapesire kohe eshte e parametrizuar nga koha $$t\!$$ seconda. Energjia kinetike e thermijes eshte:


 * $$ T[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t] $$

Ndersa energjia gravitacionale potenciale eshte:


 * $$ V[t] = m \zeta [\vec{x} [t],t] .$$

Pra funksioni Langranzhian eshte:


 * $$ L[t] = T[t] - V[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t] - m \zeta [\vec{x} [t],t] .$$

Po te variojme $$\vec{x}\!$$ tek integrali (i cili eshte ekuivalent me ekuacionet diferenciale te Ojler–Lagranzhit), marrim


 * $$0 = \delta\int{L[t] \, \mathrm{d}t} = \int{\delta L[t] \, \mathrm{d}t} $$
 * $$= \int{m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\delta \vec{x}}[t] - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \cdot \delta \vec{x}[t] \, \mathrm{d}t}.$$

Tani bejme integrimin me pjese te termit te pare dhe te hedhim poshte integralin e plote. Pastaj pjestojme me variacionin te dyja anet qe te marrim


 * $$0 = - m \ddot{\vec{x}}[t] - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] $$

Keshtu qe


 * $$m \ddot{\vec{x}}[t] = - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$

Eshte ekuacioni i levizjes &mdash; dy shprehje te ndryshme per nje force.

Therrmije nen nje fushe elektromagnetike ne relativitetin special
Ne relativitetin special, forma e termit nga del derivati i momentit duhet qe te ndryshohetd; ajonuk perfaqeson me energjine kinetike. Prandaj ajo behet:


 * $$- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t} = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} $$
 * $$= -m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {1 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots $$

(Ne relativitetin special, energjia e nje therrmije prove te lire eshte  $$m c^2 \frac{dt}{d \tau [t]} = \frac{m c^2}{\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}} = +m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {3 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots $$)

Ku $$c \!$$ meters per seconde eshte shpejtesia e drites ne vakum, $$\tau \!$$ seconda eshte koha e duhur (pra. Koha qe matet nga nje ore qe leviz se bashku me thermijen) dhe $$v^2 [t] = \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t].$$ Vini re se term i dyte ne kete seri perfaqeson energjine kinetike klasike. Supooni se thermija ka nje ngarkese elektrike $$q\!$$ kulomb si dhe eshte ne nje fushe elektromagnetike me nje potencial skalar $$\phi \!$$ volt (nje volt eshte nje xhaul per kulomb) dhe potencial vektorial $$\vec{A}$$ volt seconda per meter. Funksioni Lagrangian in je therrmije prove ne relativitetin special ne nje fushe elektromagnetike eshte:


 * $$ L[t] = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} - q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t]$$

Duke e ndryshuar kete ne lidhje me $$\vec{x}$$, ne marrim


 * $$0 = - \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) - q \nabla\phi [\vec{x}[t],t] - q \partial_t{\vec{A}} [\vec{x}[t],t]

- q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \nabla\vec{A} [\vec{x}[t],t] + q \nabla{\vec{A}} [\vec{x}[t],t] \cdot \dot{\vec{x}}[t] $$

E cila eshte


 * $$\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) = q \vec{E}[\vec{x}[t],t]

+ q \dot{\vec{x}}[t] \times \vec{B} [\vec{x}[t],t] $$

Ky eshte ekuacioni i forces se Lorencit ku


 * $$\vec{E}[\vec{x},t] = - \nabla\phi [\vec{x},t] - \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t] $$
 * $$\vec{B}[\vec{x},t] = \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t] $$

Therrmije prove ne relativitetin e pergjithshem
Ne relativitetin e pergjithshem, termi i pare pergjithesohet (ne menyre qe te pefshije) si energjine kinetike klasike ashtu eshe bashkeveprimin me potencilain gravitacional Njutonian. Ai behet:


 * $$- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t} $$
 * $$= - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t} \frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} .$$

Funksioni Lagrangian in nje therrmije prove ne relativitetin e pergjithshem ne nje fushe eletromagnetike eshte:


 * $$ L[t] = - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t}

\frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} + q \frac{d x^{\gamma}[t]}{d t} A_{\gamma}[x[t]] .$$

Neqoftese kater kordinatat e hapesire-kohes $$x^{\alpha}\!$$ jane dhene ne njesi arbitrare (pra. Pa njes), atehere  $$g_{\alpha\beta}\!$$ meter katror eshte nje tensor metrike  simetrik i rendit te dytei cili sherben gjithashtu si potenciali gravitacional. Gjithashtu, $$A_{\gamma}\!$$ ne volt seconda eshte potenciali elektromagnetik kater dimensional. Vini re se fktori c eshte absorbuar ne rrnjen katrore sepse ai eshte ekuaivalenti i
 * $$c\, \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} = \sqrt {- ( - c^2 + v^2 [t])} .$$

Vini re se ky nocion eshte pergjithesuar direkte nga relativiteti special.

Graviteti Njutonian
Funksioni (i densiteti) Langrangzhian eshte $$\mathcal{L}$$ xhul per meter kub. Termi i bashkeveprimit $$m \zeta \!$$ zevendesohet nga nje term qe perfshin nje funksion densiteti te vazhdueshem te mases $$\mu \!$$ kilogram per meter kub. Kjo eshte e domosdoshme sepse pot e perdorim nje burim pikesor per fushen do ten a coje ne veshtiresi matematike. Funksioni Langranzhian rezultues eshte per fushen klasike gravitacionale eshte:


 * $$\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \mu [\vec{x},t] \zeta [\vec{x},t] - {1 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t])^2 $$

ku $$G \!$$ meters kub per kilogram seconda ne katror eshte konstantja gravitacionale. Variacioni i integralit ne lidhje me $$\zeta \!$$ jep:


 * $$0 = - \mu [\vec{x},t] \delta\zeta [\vec{x},t] - {2 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t]) \cdot (\nabla \delta\zeta [\vec{x},t]) .$$

Tani bejme integrimin me pjese dhe hedhim poshte integralin e plote. Pasi pjestojme me $$\delta\zeta \!$$ marrim:


 * $$0 = - \mu [\vec{x},t] + {1 \over 4 \pi G} \nabla \cdot \nabla \zeta [\vec{x},t] $$

Keshtu qe


 * $$4 \pi G \mu [\vec{x},t] = \nabla^2 \zeta [\vec{x},t] $$

E cila jep ligjin e Gausit per gravitetin.

Elektromagnetizmi ne teorine e relativitetit special
Termat e bashkeveprimit $$- q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t]$$ jane zevendesuar nga terma qe perfshine nje densitet ngarkese konstant $$\rho \!$$ coulomb per meter kub dhe nje densitet korenti $$\vec{j} \!$$ ampere per meter atror. Funksioni Langranzhian resultant per fushen elektromagnetike eshte:


 * $$\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \rho [\vec{x},t] \phi [\vec{x},t] + \vec{j} [\vec{x},t] \cdot \vec{A} [\vec{x},t] + {\epsilon_0 \over 2} {E}^2 [\vec{x},t] - {1 \over {2 \mu_0}} {B}^2 [\vec{x},t] .$$

Duje e ndryshuar kete ne lidhje me $$\phi \!$$, ne marrim


 * $$0 = - \rho [\vec{x},t] + \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} [\vec{x},t] $$

E cila jep ligjin e Gausit.

Kurse pot a ndrshojme kete ne lidhje me $$\vec{A}$$, ne marrim


 * $$0 = \vec{j} [\vec{x},t] + \epsilon_0 \partial_t \vec{E} [\vec{x},t] - {1 \over \mu_0} \nabla  \times \vec{B} [\vec{x},t] $$

E cila jep ligjin e Ampèrit.

Elektromagnetizmi ne teorine e relativitetit te pergjithshem
Per funksionin Langranzhian ne relativitetin e pergjithshem, shikoni veprimi i Ajnshtajn-Hilbertit. Langranzhiani i fushes elektromagnetike eshte:


 * $$\mathcal{L}[x] = + J^{\gamma}[x] A_{\gamma}[x]

- {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu}[x] F_{\alpha \beta}[x] g^{\mu\alpha}[x] g^{\nu\beta}[x] \sqrt{\frac{-1}{c^2} \mathrm{det} [g[x]]}. $$

Neqoftese kater kordinatat e hapesire-kohes $$x^{\alpha}\!$$ jane dhene ne njesi arbitrare, atehere: $$\mathcal{L}$$ xhul sekonda eshte funksioni Langrangian, nje densitet skalar; $$J^{\gamma}\!$$ kulomb eshte korrenti, nje densitet vektorial; dhe $$F_{\mu \nu}\!$$ volt sekonda eshte tensori elektromagnetik,nje tensor kovariant antisimetrik i rendit te dyte. Vini re qe determinant poshte shenjes se rrenjes katrore aplikohet mbi cdo component te matrices se tensorit kovariant te metrikes $$g_{\alpha\beta}\!$$, dhe $$g^{\alpha\beta}\!$$ eshte inverse i saj. Vini re qe njesite e funksionit Langranzhian ndryshojne sepse ne po integrojme mbi $$x^0, x^1, x^2, x^3\!$$ te cilat nuk kane njesi ne krahasim me  $$t, x, y, z \!$$ te cilat kane njesi seconda meter kub. Tensor ii fushes elektromagnetike formohet duke anti-simetruar derivatet pjesore te potencilait vektorial elektromagnetik; pra ai nuk eshte nje varaibel e pavarur. Rrenja katrore duhet qe te konvertoje ate term ne nje densitet scalar ne vend ten je skalari te thjeshte, si dhe per kompensimin per ndryshimin e njesive ne njesite e varaiblave te integrimit. Faktori i $$\frac{-1}{c^2}$$ Brenda rrenjes katrore duhet per normalizimin e rrenjes katrore ne menyre qe te reduktohet ne vleren nje ne relativitetin special (meqenese determinant eshte  $$- c^2 \!$$ ne relativitetin special).

Funksioni Langranzhian i Dirakut
Densiteti i funksionit Langranzhian per nje fushe te Dirakut eshte:


 * $$\mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!D - mc^2) \psi$$

Ku $$\psi\!$$ eshte nje spinor i Dirakut, $$\bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0$$ eshte  transpozimi kompleks i Dirakut, $$D\!$$ eshte derivati kovariant i madhesise, dhe $$\not\!D$$ eshte notacioni i Fajmanit per $$\gamma^\sigma D_\sigma\!$$.

Funksioni Langranzhian ne elektrodinamiken kuantike
Densiteti i Langranzhit per EDK eshte:


 * $$\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

ku $$F^{\mu \nu}\!$$ eshte tensori elektromagnetik

Funksioni Langranzhian ne kromodinamiken kuantike
Densiteti i Langranzhit per kromodinamiken kuantike eshte   :


 * $$\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}$$

ku $$D\!$$ eshte KDK  derivati i madhesise kovariante, dhe  $$G^\alpha {}_{\mu\nu}\!$$ eshte tensori gluon i  fuqise se fushes.

Shembuj

 * Ne mekanike klasike, ne formalizmin e Hamiltonian, $$M$$ eshte nje manifold nje-dimensional $$\mathbb{R}$$, qe paraqet kohen dhe hapesira ne shenjester ne kete rast eshte nje  tufe kotangente e  hapesires se pozicionit te pergjithshem.
 * Ne teorine e fushes, $$M$$ eshte manifold i  hapesirekohes dhe hapesira ne fjale eshte nje bashkesi vlerashqe fusha mund te marre ne cdo pike te dhene. Per shembull, neqoftese jane m fusha  skalare me vlera reale, $$\phi_{1}, ..., \phi_{m}$$, atehere manifold ne fjale eshte  $$\mathbb{R}^m$$. Neqoftese fusha eshte nje fushe vektoriale reale, ateheremanifoldi ne fjale eshte izomorfik te $$\mathbb{R}^n$$. Ne fakt ekziston nje menyre shume me elegante qe perdor tufa tangente mbi $$M$$, por ne kete artikull do ti permbahemi kesaj metode.

Zhvillimi matematik
Konsideroni nje funksional, $$\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$$, te quajtur veprim. Arsye fizike na diktojne se ai eshte nje lidhje e  $$\mathbb{R}$$, dhe jo i $$\mathbb{C}$$.

Ne menyre qe veprimi te jete lokal, na duhen kufizime te tjeara mbi veprimin. Neqoftese $$\varphi\in\mathcal{C}$$, themi se $$\mathcal{S}[\varphi]$$ eshte  integrali mbi  $$M$$ in je funksioni te  $$\phi$$, derivatet dhe pozicioni i saj marrin emrin funksioni Langranzhian, $$\mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x)$$. Me fjale te tjera,


 * $$\forall\varphi\in\mathcal{C}, \ \ \mathcal{S}[\varphi]\equiv\int_M \mathrm{d}^nx \mathcal{L} \big( \varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x \big).$$

Me poshte, ne marrim parasysh faktin qe, funksioni Langranzhian varet vetem te vlera e fushes dhe derivati i saj i pare dhe jo ne derivate te rendit me te larte.

Neqoftese na jane dhene kushtet kufitare, pra specifikimet e vlerave te $$\phi$$ ne kufi neqoftese $$M$$ eshte kompakt ne nje limit ne $$\phi$$ kur x afrohet  $$\infty$$ (kjo do te ndihmoje ne aplikimin e   integrimit me pjese), nenhapesira e  $$\mathcal{C}$$ perbehet nga funksione, $$\phi$$ te tilla qe te gjitha derivatet funksionale te  $$S$$ tek $$\phi$$ jane zero dhe $$\phi$$ kenaq konditat kufitare eshte nenhapesiara e zgjidhjeve.

Zgjidhja e kesaj jepet nga ekuacionet e Ojler–Langranzhit (fale kushteve kufitare),


 * $$\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}=-\partial_\mu

\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.$$

Ana e majte e derivatit funksional te veprimit ne lidhje me $$\phi$$.

Shikoni gjithashtu

 * Derivati funksional
 * Integrali funksional
 * Principi i Hamiltonit
 * Analiza e variacionit
 * Kordinatat e pergjithsme
 * Mekanika e Hamiltonit
 * Mekanika e Lagranzhit
 * Pika e Lagranzhit
 * Teoreme e Nedherit
 * Teoria klasike e fushes kovariante
 * Teoria e fushes skalare
 * Kordinatat e Lagranzhit dhe te Ojlerit

Referenca

 * Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
 * David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)