Tabela e operatorëve logjikë

Bashkësia është koncepti themelorë i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :
 * Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: $$ A = (a_1,a_2,a_3,...,a_n ) $$
 * Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: $$ A = \{ x|F(x) \} $$

Bashkësitë numerike

 * Bashkësia e numrave natyralë :$$\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots, n, n+1, \ldots \,\}$$
 * Bashkësia e numrave të plotë :$$\mathbb{Z} = \{\, \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}$$
 * Bashkësia e numrave racional :$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} |  m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$$
 * Bashkësia e numrave realë :$$\mathbb{R} = \{\ x|- \infty <x<+ \infty \,\}$$
 * Bashkësia e numrave kompleksë :$$\mathbb{C} = \{\ x+iy|x \in\mathbb{R} ,y \in\mathbb{R} ,i= \sqrt{-1} \,\}$$
 * Bashkësia e numrave çift :$$\mathbb{N_+} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \vdots 2 \,\}$$
 * Bashkësia e numrave tek :$$\mathbb{N_-} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \not\vdots 2 \,\}$$

Veprimet me bashkësi
Prerja e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila i përmban elementet njërës bashkësi ,,dhe,, të tjetrës $$A$$ and $$B$$ $$$$ figura.
 * Prerja e bashkësive

Unioni i bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ $$$$ figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :
 * Unioni i bashkësive
 * 1) Ligji i indempotencës

$$AUA=A$$


 * 1) Ligji i kumutacionit

$$AUB=BUA$$


 * 1) Ligji asociativ

$$AU(BUC)=(AUB)UC$$


 * 1) Ligji distribtiv
 * 2) Ligji distribtiv

Diferenca e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë $$A$$ që nuk i takojnë bashkësisë $$B$$ $$$$ figura.
 * Diferenca e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive $$A$$ dhe $$B$$ $$$$ figura.
 * Diferenca simetrike e bashkësive

Relacionet
Nëse me $$A$$ shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me $$ \rho $$ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të $$A$$-së, atëherë për $$ \rho $$ themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kardezian : $$\A product \B$$ Vetit e relacionit binar janë: Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ vlenë relacioni $$ \rho$$ i cili ka vetitë $$a \rho b$$ dhe $$b \rho a$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë. $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv. Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ nga relacioni binarë $$ \rho$$ rrjedhë $$b \rho a$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë. Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ nga relacionet binare $$a \rho b$$ dhe $$b \rho a$$ rrjedhë $$a \rho c$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv $$$$ Në të kundërtën nëse vlen: $$$$ themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv. Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë $$\rho$$ i cili në bashkësinë $$A$$ është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " $$\sim$$ ". Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.
 * Relacionet binare
 * Relacioni i ekuivalencës

Relacioni i renditjes është relacioni binarë $$\rho$$ i cili në bashkësinë $$A$$ është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv. Nëse relacioni i binarë $$\rho$$ në bashkësinë $$A$$ është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigorozë ( të renditjes).
 * Relacioni i renditjes

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian $$AxB$$ i bashkësive jo të zbrazëta $$A$$ dhe $$B$$. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : $$ \rho = \left \{ (a,b)| a \in A \land b \in B \land a \rho b \right \} $$
 * Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Pasqyrimet
Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë $$A$$ në $$B$$ quhet relacioni $$ \rho $$ ndërmjet dy bashkësive $$A$$ dhe $$B$$, i cili ka këtë veti : $$ ( \forall x \in A)( \exists !y \in B)(x,y) \in \rho $$ Elementet e bashkësisë $$A$$ që pasqyrohen në bashkësinë $$B$$ janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë $$B$$ që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me $$ \rho $$ por me $$ f, g , h , \psi $$ etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë. $$ f: A \to B $$ ose $$f: x \to y =f(x), \forall x \in A $$''' $$ f(x)=2x, x\in \mathbb{N} $$
 * Shënimi simbolik i pasqyrimit
 * Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 * Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 * Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

Nëse për pasqyrimin $$ f: A \to B $$ vlen që ç´do $$y$$ element i $$B$$ dhe ekziston një elementë $$x$$ i tillë që : $$( \forall y \in B)( \exists !x \in A), g:y \to x=g(y)$$ atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers $$g$$ të pasqyrimit $$f$$. Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive. Shënimi i pasqyrimit invers $$f$$ zakonisht shënohet si :$$f^-$$ Për pasqyrimin $$f$$ themi se është kodomen i domenit $$f^-$$ dhe në të njëjtën kohë domeni $$f$$ është kodomen i $$f^-$$. Figura:
 * Funksioni invers

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit $$x$$ të bashkësisë $$A$$ i përgjigjet (ekziston së paku një) element $$y$$ i bashkësisë $$B$$, i tillë që në bashkësinë $$C$$ ekziston së paku një element $$z$$ i cili i përgjigjet $$y$$.Në gjuhen matematikore kjo duket si : $$ ( \forall x \in A)( \exists !z \in C)(g \circ f): x \to z=g{f(x)}.$$
 * Shumëzimi i funksioneve

Veprimet binare
Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që: $$ f: A^2 \to A $$

Ligjet e veprimeve binare
$$( \forall a \in A)a \circ e=e \circ a=a$$ ,atëherë për $$e$$ themi se është element neutral.
 * 1) ligji komutativ është nëse vlen:$$ ( \forall a, b \in A) a \circ b= b \circ a.$$
 * 2) ligji asociativ është nëse vlen:$$ ( \forall a, b , c \in A)( a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).$$
 * 3) ligji distributiv është nëse vlen: $$ ( \forall a, b , c \in A) a \circ (b * c)=(a \circ b)* (a \circ c).$$
 * Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ është i përkufizuar veprimi binar $$ \circ $$ atëherë për $$(A, \circ)$$ themi se është grupoid.
 * Po që se veprimi binarë $$ \circ $$ grupoidit $$(A, \circ)$$ është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
 * Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $$A$$ ekziston një element $$e$$ me vetin:

Grupet dhe nëngrupet

 * Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, eshte nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha per teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha
Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku Trup quhet unaza asociative $$(A, \oplus, \otimes )$$ nëse $$(A_1, \otimes )$$ është grup, ku $$ A_1 = A| \left \{ 0 \right \}$$. Fushë quhet trupi $$(A, \oplus, \otimes )$$ nëse shumëzimi është kumutativ.
 * Unaza
 * 1) $$(A, \oplus )$$ është grup abelian,
 * 2) $$(A, \otimes )$$ është grupoid dhe
 * 3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
 * Trupi
 * Fusha

Simbolet matematikore
Menge (Mathematik) Set Aro Conjunto Ensemble 集合 Verzameling Zbi%C3%B3r Conjunto množica mängd Множина 集合