Joseph Luis Lagrange

Ne fizike, principi i Uilliam Rouan Hamilton  eshte nje formulim alternativ i ekuacioneve diferenciale te levizjes per nje sistem fizik si ekuivalent i ekuacioneve integrale, duke perdorur analizen e variacionit. Ky princip quhet gjithashtu edhe principi i veprimit minimal. Edhe pse per here te pare ky princip u formulua per perdorim ne Mekaniken Klasike, Principi i Hamiltonit gjen applikime edhe ne fushat klasike si elektromagnetizmi dhe gravitacioni. Ky pricip eshte zhvilluar edhe ne Mekaniken Kuantike, Mekanike e Fushes Kuantike si dhe per teori te tjera.

Historia e Principit te Hamiltonit
Nje nga principet e para minimale ne fizke u dha nga Heroni i Aleksandrise ne shekullin e dyte. Ky princip ka te beje me fushen e optikes dhe pohon se nje rreze drite qe kalon nga nje pike ne nje tjeter me reflektim nga nje pasqyre jithmone do te marre shtegun me  te shkurter. Megjithate principi i shtegut me te shkurter nga Heroni nuk harrin qe te japi ligjin e sakte te pasqyrimit te drites. Ne 1657 Fermat e riformuloi kete parrim duke hipotezuar se drita ne nje medium kalon nga nje pike ne nje tjeter nepermjet shtegut qe merr kohen me te paket. Principi i Ferma jo vetem qe jep ligjin e sakte te pasyrimite te drites por prej tij mud te derivohet edhe ligji i refraktimit i njohur ndryshe si lighi i Snellit. Ne mekanike zbatimi i pare i parimit te veprimit minimal u be ne 1747 nga Maupertus i cili hipotezoi se levizja dinamike ndodh me nje veprim minimal. Maupertus e shjegonte kete me baza theologjike. Sipas tij ishte dituria e Zotit ajo qe e bente te mundur kete. Ne 1760 principi u vu ne baza matematike nga Jozef Luiz Lagranzhi i cili perdori analizen matematike te variacionit per te zgjidhur shume probleme bazuar ne kete princip.Ne 1828 qe Gausi ai qe perdori ate qe ai quante principi i shtrengeses me te paket. Nje modifikim u be me vone nga Herci ne ate qe ai quante principi i kurbatures minimale.Megjithate qe Hamiltoni ai qe per here te pare dha ne menyre koncize ate qe ne sot e njohim si principi i veprimit minimal.Principi i Hamiltoni pohon se nga te gjitha shtegjet e mundura qe nje sistem dinamik mund te ndjeke mes dy pika ne nje interval kohor te caktuar ai ndjek ate qe minimizon integralin e vepimit, ku integrali i veprimit percaktohet si diferenca mes energjise kinetike dhe asaj potenciale. Eshte per tu theksuar se nga pikepamja e kohes principi i Hamiltonit erdhi pas metodes se Lagranzhit.

Formulimi Matematik
Principi i Hamiltonit pohon se evolimi i vertete $$\mathbf{q}(t)$$ i nje sistemi te pershkruar nga $$N$$ koordinata të përgjithshme $$\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)$$ mes dy gjendjeve specifike $$\mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{1})$$ and $$\mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{2})$$  ne dy kohe specifike $$t_{1}$$ and $$t_{2}$$ eshte nje ekstremum (i.e., nje pike stacionare, e cila mund te jete nje minimum, maximum or pike infleksoni) e veprimit te funksionalit



\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt $$

ku $$L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$$ eshte funksioni i Lagranzhit per sistemin. Me fjale te tjera, çdo perturbim i klasit te pare i evolucionit te vertete te sistemit resulton ne (te shumten) nje ndryshim te klasit te dyte ne $$\mathcal{S}$$. Duhet te theksohet se veprimi $$\mathcal{S}$$ eshte nje funksional, i.e., dicka qe mer si inputin e saj nje funksion dhe kthen nje numer te vetem, nje madhesi skalare. Ne terma te analizes funksionale, principi i Hamiltonit pohon se evolucioni i vertete i nje sistemi fizik jepet nga zgjidhja e ekuacionit funksional

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0 $$

Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit per integralin e veprimit
Kur kerkojme qe trakjektorja e vertete $$\mathbf{q}(t)$$ te jete nje pike stacionare e funksionalit te veprimit $$\mathcal{S}$$ atehere kjo eshte nje menyre ekuivalente si ne rastin kur problemi shtrohet si nje set ekuacionesh diferenciale $$\mathbf{q}(t)$$ (ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), te cilat mund te derivohen si me poshte.

Le $$\mathbf{q}(t)$$ te perfaqesoje evolimin e vertete te nje sistemi mes dy gjendjeve specifike $$\mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{1})$$ dhe $$\mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{2})$$ ne dy kohe specifike $$t_{1}$$ dhe $$t_{2}$$, le $$\boldsymbol\varepsilon(t)$$ te jete nje perturbim i vogel qe merr vleren zero ne dy pikat kufitare te trajektores



\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0 $$

Ne rendin e pare ky perturbim $$\boldsymbol\varepsilon(t)$$, tregon ndryshimin e veprimit funksional $$\delta\mathcal{S}$$ qe eshte

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol\varepsilon)- L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q}) \right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt $$

ku e kemi zgjeruar funksionin e Lagranzhit L ne klas te pare te perturbimit $$\boldsymbol\varepsilon(t)$$.

Tani zbatojme tekniken e integrimit me pjese ne termat e fundi te rezultatit



\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt $$

Nga kondicionet ne pikat kufitare $$ \boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0 $$ shikojme se termi i pare thjeshtohet



\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt $$

Principi i Hamiltonit kerkon qe ndryshimet ne rend te pare $$\delta \mathcal{S}$$ te jete zero per te gjitha perturbimet e mundshme $$\boldsymbol\varepsilon(t)$$ kjo domethene qe shtegu i vertete i pikes stacionare te funksionalit te veprimit $$\mathcal{S}$$ te jete (ose nje minimum, maksimum ose pike infleksioni). Kjo kerkese mund te kenaqet vetem neqoftese





\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = 0 $$  Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit

Keto ekuacione quhen ekuacionet e Ojler- Lagranzhit dhe perdoren per te zgjidhur nje numer te madh problemesh variacioni.

Implikimet filozofike te parimit te Hamiltonit
Ne formulimin Njutonian te mekanikes klasike nje force e zbatuar ne nje trup prodhon nje levizje. Pra kemi nje efect te shkaktuar nga nje kauze e caktuar e cila ne kete rast eshte forca. Nga ana tjeter principi i Hamiltonit pohon se levizja e nje trupi i attribuohet natyres e cila ka nje qellim te caktuar, ky qellim eshte minimizimi i integralit te veprimit ose e thene ne nje gjuhe me te thjeshte  natyra kerkon qe te minimizoje energjine e harxhuar ne nje sistem gjate nje procesi.

Referenca

 * W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Part II (1835) p. 95-144.


 * Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.


 * Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover), pp.2-4.


 * Arnold VI. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.

Hamiltonsches Prinzip Principio de Hamilton המילטוניאן Hamiltonian Princípio de Hamilton Принцип найменшої дії 哈密頓原理