Sfera e Blokut



Ne mekaniken kuantike, sfera e Blokut eshte nje paraqitje gjeometrike e hapesires se gjendjeve te pastra te nje sistemi kuantik me dy nivele e emeruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu,ajo mund te shikohet si gjendja e paster hapesinore e 1 kubiti te nje regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht eshte nje sfere gjeometrike dhe korrespondenca mes elementeve te sferes se Blokut dhe gjendjeve te pastra mund te jepet ne menyre eksplicite. Ne formen e pergjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapesires analoge nje sistemi kuantik me n-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht eshte e formulua ne hapesirene e Hilbertit ose ne Hapesire projektive te Hilbertit. Hapesira e gjendjeve te pastra te nje sistemi kuantik jepet nga rreze ne hapesiren e Hilbertit (te cilat jane "pikat" e hapesires projektive te Hilbertit). Hapesira e rrezeve ne cdo hapesire vektoriale eshte nje hapesire projektive, dhe ne vecanti, hapesira e rrezeve ne hapesiren Hilbertiane dy dimensionale eshte nje vije komplekse projektive, e cila eshte isomorfike me nje sfere. Cdo cift pikash antipodike ne sferen e Blokut i korrespondon ne menyre mutuale nje cifti gjendjesh ekskulzive te nje therrmije, pra, me spin lart ose me spin poshte per eksperimentin e Stern-Gerlachte orientuar drejt nje boshti te caktuar ne hapesiren fizike.

metrika natyrale e sferes se Blokut eshte metrika Fubini-Study.

Kubiti
Ne menyre qe te tregojme kete korrespondence direkte, le te marrim ne konsiderate pershkrimin e kubitit te sferes se Blokut; cdo gjendje $$\psi$$ mund te shkruhet si nje mbivendosje komplekse e vektoreve ket $$ |0 \rangle$$ dhe $$|1 \rangle $$; per me teper meqenese faktoret faze nuk kane ndikim mbi gjendjen fizike te sistemit, ne mund te marrim paraqitjen ne menyre qe koeficentet e $$ |0 \rangle$$ te jene reale dhe jo-negative. Pra $$\psi$$ ka nje paraqitje si
 * $$ |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle  \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta  \,|1 \rangle  $$

me
 * $$ 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.$$

Pervec rastit ku $$\psi$$ eshte nje nga vektoret ket $$ |0 \rangle$$ ose $$ |1 \rangle$$, kjo paraqitje eshte unike, pra. parametrat $$\phi \,$$ dhe $$\theta \,$$ specifikojne ne menyre unike nje pike ne sferen njesi ne hapesiren Euklidiane $$\mathbb{R}^{3}$$, nga pikepamja vizuale, pika kordinata e se ciles $$(x,y,z)$$ jane
 * $$ \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}$$

nje pergjithesim per gjendjet e pastra
Konsideroni nje sistem mekaniko kuantik ne n-nivele. Ky sistem pershkruhet nga nje hapesire Hilbertiane n-permasore Hn. Hapesira e gjendjeve te pastra eshte sipas percakimit bashkesia e rrezeve 1-dimensionale te Hn.

Teoreme. Le U(n) te jete nje grup Lie i matricave unitare me permase n. Atehere hapesira e gjendjeve te pastra te Hn mund te identifikohet eme nje hapesire kosete kompakte
 * $$ \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)). $$

Ne menyre qe te provojme kete fakt, vini re se kemi nje veprim grupinatyral te U(n) ne bashkesine e gjendjeve te Hn.  Ky veprim eshte i vazhdueshem dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Per cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i percaktuar si bashkesia e elementeve g  te U(n) e tille qe g ψ = ψ) eshte izomorfike me grupin e prodhimit


 * $$ \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1). $$

Ne fjalorin e algjebres lineare, kjo mund te justifikohet si me poshte. Cdo g e U(n) qe e le ψ te pandryshuar duhet te kete ψ si nje ajgenvektor. Meqenese ajgenvlera korresponduese duhet te jete nje numer kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) te grupit izotrop. Pjesa tjeter e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare ne komplementin ortoigonal te ψ, e cial eshte izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremes del nga faktet baze per grupe veprimi tranzitive te grupeve kompakte.

Fakti i rendesishem ketu eshte qe grupet unitare veprojne ne menyre tranzitive ne  gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(n) eshte n2. Kjo shikohet lehte meqenese relacioni eksponencial
 * $$ A \mapsto e^{i A} $$

eshte nje homeomorfizem lokal nga hapesira e matrices komplekse (e transpozuara e se ciles eshte e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2.

Rrjedhim. Dimensioni real i nje hapesires se gjendjejeve te pastra te Hn eshte 2n &minus; 2.

Ne fakt,
 * $$ n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad $$.

Rrjedhim. Dimensioni real i nje hapesires se gjendjejeve te pastra te nje rregjistri kuantik me m kubite eshte 2m+1 &minus; 2.

Referenca

 * Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) pp.9-16.
 * Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)

كرة بلوخ Bloch-Kugel Σφαίρα Μπλοχ Esfera de Bloch Sphère de Bloch Sfera di Bloch Bloch vector Sfera Blocha 布洛赫球面