Ekuacioni i valës elektromagnetike

Ekuacioni i valës elektromagnetike është një  ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, e shkruar në terma të fushës elektrike E ose të  fushës magnetike B, merr formën:


 * $$ \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{E} \ \ = \ \ 0$$


 * $$ \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{B} \ \ = \ \ 0$$

Ku c është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakum, c = c0 = 299,792,458 metër për sekondë, e cila është shpejtesia e drites në boshllek.

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në shumicën e literaturave të vjetra, B quhet  "densisteti i fluksit magnetik"  ose  "induksioni magnetik".

Në boshllëk
Neqoftese vala perhapet ne boshllek, atehere


 * $$c = c_o = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8 $$ meter per sekonda

eshte shpejtesia e drites ne vakum, nje vlere e percaktuar qe vendos standartin e gjatesise, njesise se metrit. Konstantja magnetike $$\ \mu_0$$ dhe permitiviteti i vakumit $$\ \varepsilon_0$$ jane dy konstante fizike te rendesishme qe luajne nje rol kresor ne teorine elektromagnetike. Vlerat e tyre (te cilat jane gjithashtu te percaktuare) ne njesi SI te marra nga NIST jane tabuluar me poshte:

Në një mjedis material
Shpejtesi e drites ne nje mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapes ( jo-dispersiv) eshte


 * $$c = { c_0 \over n } = { 1 \over \sqrt{ \mu \varepsilon } } $$

ku


 * $$ n = \sqrt{ \mu \varepsilon \over \mu_0 \varepsilon_0  } $$

eshte indeksi i refraktimit te mjedisit, $$\ \mu$$ eshte permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe $$\ \varepsilon$$ eshte permitiviteti elektrik i mjedisit

Konservimi i ngarkeses elektike
Konservimi i ngarkeses kerkon qe shpejtesia e ndryshimit ne kohe te te gjithe ngarkeses elektrike te kufizuar brenda nje volumi V duhet te jete e barabarte korrentin total qe rrjedh ne siperfaqen S e cila permbyll volumin V:


 * $$ \oint \limits_S \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A} = - {d \over d t} \int \limits_V \rho \cdot dV$$

ku j eshte densiteti i korrentit (ne Amper per meter katror) qe rrjedh permes siperfaqes dhe ρ eshte densiteti i korrentit (ne kulomb per meter kub) ne cdo pike te volumit.

Nga teorema e divergjences, ky relacion mund te konvertohet nga forma integrale ne ate diferenciale:


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t} $$

Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit
Ne formen e tij origjinale, Ligji i forces se Amperit jep lidhjene midis fushes magnetike B dhe densitetit te korrentit j:


 * $$ \oint \limits_C \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \iint \limits_S \mu \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}$$

ku S eshte nje siperfaqe e hapur e kufizuar nga nje kurbe C. Kjo forme integrale mund te shnderrohet ne formen diferenciale me ane te teoremes se Stouks:


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} $$

Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike
Po te marrim divergjencen e te dyja aneve te ligjit te forces se Amperit kemi:


 * $$ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j}$$

Divergjencae e rrotacionit te cdo fushe vektoriale, perfshire fushen magnetike B, eshte gjithmone zero:


 * $$ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B}) = 0$$

Po te kombinojme keto dy ekuacione del se


 * $$\nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j} = 0$$

Per shkak se $$ \ \mu_0$$ eshte nje konstante jo-zero, rrjedh se


 * $$\nabla \cdot \mathbf{j} = 0$$

Megjithate, ligji i ruajtjes se ngarkeses elektrike thote se


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t } $$

Pra, si ne rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forces se Amperit eshte i vertete vetem ne ato raste kur kemi te bejme me nje situate qe perfshin nje densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e perfshin situaten qe ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te nje kapacitori.

Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit
Ligji i Gausit ne formen integrale pohon se:


 * $$ \oint \limits_S \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \limits_V \rho \cdot dV \ ,$$

ku S eshte nje siperfaqe e mbyllur qe kufizon nje volum V. Kjo forme intgrale mund te konvertohet ne formen diferenciale duke perdorur teoremen e divergjences:


 * $$ \nabla \cdot \varepsilon_0 \mathbf{E} =  \rho $$

Po te marrim derivatin kohor te te dyja aneve dhe te nderrojme radhen e diferencimit ne anen e majte marrim:


 * $$ \nabla \cdot  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }     = { \partial \rho \over \partial t}$$

Ky rezultat i fundit se bashku me ligjin rrethor te Amperit ( ligjin e forces se Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes se ngarkeses elektrike, sugjeron se aktualisht kemi dy burime origjine te fushes magnetike: densedia e korrentit j, sic e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi korrent zhvendoses:


 * $$  {\partial  \mathbf{D}   \over \partial t }   =  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }  $$

Keshtu qe forma e rregullt e ligjit te forces se Amperit behet:


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0  {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t } $$

Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike


Ne publikin e tij te 1864 te titulluar Nje teori Dinamike e fushes elektromagnetike, Maksuelli perdori korrigjimin e ligjit te forces se Amperit te cilin ai kishte bere ne pjesen e III te publikimt te 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI te publkimt te 1864 te titulluar 'TEORIA ELEKTROMAGNETIKE E DRITES', Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione te tjera te elektromagnetismit per te marre ekuacionin e vales elektromganetike me shpejtesi te barabarte me ate te drites. Ai komentoi:


 * Renia dakort e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi jane ngacmime te te njejtes substance, si dhe drita eshte nje vale elektromagnetike qe perhapet permes nje fushe sipas ligjeve te lelktromagnetizmit.

Derivimi i Maksuellit per ekuacionin e fushes elektromagnetike eshte zevendesuar ne fizken moderne nga nje metode shume me e thjeshte qe perfshin kombinimin e versionit te korrektuar te ligjit te forces se Amperit me ligjin e induksionit te Faradeit.

Ne menyre qe te marrim ekuacionin e vales elektromagnetike ne boshllek duke perdorur metoden moderne, mund te fillojme me formen 'Hevisajd' te ekuacioneve te Maksuellit. Ne vakum keto ekuacione jane:


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}$$


 * $$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$$


 * $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$


 * $$ \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}$$

Po te marrim rrotacionin e rrotacionit te ekuacioneve kemi:
 * $$ \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} $$


 * $$ \nabla \times \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{E} = -\mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$

Duke perdorur identitetin vektorial


 * $$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}$$

ku $$ \mathbf{V} $$ eshte nje fuksion vektorial i hapesires, marrim ekuacionin e vales:


 * $$ {\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} \ - \ {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{E}  \ \ = \ \ 0$$


 * $$ {\partial^2 \mathbf{B} \over \partial t^2} \ - \ {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{B}  \ \ = \ \ 0$$

ku


 * $$c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 $$ meter per sekonda

eshte shpejtesia e drites ne boshllek.

Teoria dhe eksperimenti

 * Ekuacionet e Maksuellit
 * Ekuacioni i vales
 * Drita
 * Spektri elektromagnetik
 * Optika

Aplikime

 * Ylberi
 * Lazeri
 * Fotografia
 * Radari

Artikuj gazetash

 * Maxwell, James Clerk, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Libra te nivelit universitar

 * Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
 * Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
 * Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
 * David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
 * Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 * Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9
 * Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 * Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

Libra te nivelit post-universitar

 * Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)
 * Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)

Analiza vektoriale

 * P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
 * H. M. Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

Biografia

 * Andre Mari Amperi
 * Albert Ajnshtajn
 * Majkell Faradei
 * Henrik Herc
 * Oliver Hevisajd
 * Xhejms Klark Maksuell

Уравнение на електромагнитните вълни Electromagnetic wave equation Równanie fali elektromagnetycznej