Ekuacioni i Helmholcit

right|thumb|Dy burime rrezatimi në një plan, të dhëna matematikisht nga një funksion $f$ i cili është zero në rajonin blu. right|thumb|[[Pjesa reale e fushës rezultuese $$A,$$ $$A$$ është zgjidhja e ekuacionit johomogjen të Helmhocit $$(\nabla^2 + k^2) A = -f.$$]] Ekuacioni i Helmholcit, i emëruar sipas Herman von Helmholc, është një ekuacioni diferencial pjesor eliptik



(\nabla^2 + k^2) A = 0 $$,

ku $$\nabla^2$$ është operatori i Laplasit, $$k$$ është një konstante, dhe funksioni i panjohur $$A=A(x, y, z)$$ është i përcaktuar në një hapësirë Euklidiane n-dimensionale Rn (typikisht n=1, 2, ose 3, ne raste kur zgjidhja e ekuacionit ka kuptim fizik).

Membrana vibruese
Analogja dy-dimensionale e nje korde vibruese eshte membrana vibruese, me cepa te fisuar ne menyre qe ato te mos levizin. Ekuacioni i Helmholcit u zgjidh per shume forma te ndryshme ne shekullin e 19-te: membrana rektangulare nga Simeon Denis Puason ne 1829, trekendeshi barabrinjes nga Gabriel Lame ne 1852, dhe membrana rrethore nga Alfred Klebsh ne 1862. Daullja eliptike u studiua nga Emile Mathju, nga e cila doli ekuacioni diferencial i Mathjut. Format e zgjedhura i korrespondojne formave tabela dinamike e bilardos e se cilave eshte e integrueshme, pra jo kaotike. Kur levizja ne nje tabele bilardoje korresponduese eshte kaotike, atehere nuk njihet ndonje forme e mbyllur analitike e ekuacionit te Helmholcit. Studimi i sistemeve te tilla njihet si kaosi kuantik, sepse ekuacioni i Helmholcit dhe ekuacione te tjera te ngjashme hasen shpesh ne mekaniken kuantike.

Neqoftese cepat e nje forme jane segmente vijash te drejta, atehere zgjidhja eshte e integrueshme ose mund te nmerret ne forme te mbyllur vetem neqoftese ajo mund te shprehet si nje kombinim linear i valeve planare qe kenaqin konditat kufitare (ne kufi te jete zero, pra., membrane e fiksuar).

Nje situate interesante ndosh me nje forme ku gjysma e zgjidhjes eshte e integrueshme kurse pjesa tjeter s'eshtet. Nje forme gjeometrike e thjesht ku kjo ndodh eshte gjashtekendshi i rregullt. Neqoftese paketa valore qe pershkruan nje top bilardoje kuantik perbehet vetem nga zgjidhje qe kane formen e mbyllur, levizja e saj nuk do te jete kaotike, por neqoftese perfshime horma zgjidhjeje pa forme te mbyllur analitiek, levizja e topit te bilardos kuantike behet kaotike. Nje forme tjeter e thjeshte ku kjo ndodh eshte me nje forme "L"-je duke reflektuar nje katror poshte dhe pastaj ne te djathte.

Neqoftese fusha e percaktimit eshte nje rreth me rreze a, atehere duhet te paraqesim kordinatat polare r dhe θ. Ekuacioni i Helmholcit merr formen


 * $$ A_{rr} + \frac{1}{r} A_r + \frac{1}{r^2}A_{\theta\theta} + k^2 A = 0. $$

Tani mund te impozojme konditat kufitare ne menyre qe A te zhduket nneqoftese r=a; pra


 * $$ A(a,\theta) = 0. \,$$

Metoda e ndarjes se variablave nxjerr zgjidhje shume te thjeshta te formes


 * $$ A(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta), \,$$

ku Θ duhet te jete perodike me periode 2π. Kjo jep


 * $$ \Theta'' +n^2 \Theta =0, \,$$

dhe
 * $$ r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,$$

Tani nga kondita e periodicitetit del qe


 * $$ \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,$$

si dhe n duhet te jete nje numer i plote. Komponenti rrezor R ka formen


 * $$ R(r) = \gamma J_n(\rho), \,$$

ku funksioni Bezel Jn(ρ) kenaq ekuacionin e Bezelit


 * $$ \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0, $$

dhe ρ=kr. Funksioni rrezor Jn ka nje numer te pafundem rrenjesh per cdo vlere te n, te dhene nga ρm,n. Kondita kufitare qe A te zhduket kur r=a kenaqet vetem kur frekuancat kooresponduese jepen nga


 * $$ k_{m,n} = \frac{1}{a} \rho_{m,n}. \,$$

Zgjidhaj e pergjithsheme A merr formen e nje shume te pafundme te dyfishte te termave q perfshine produktet e


 * $$ \sin(n\theta) \, \hbox{or} \, \cos(n\theta), \, \hbox{and} \, J_n(k_{m,n}r).  $$

Keto zgjedhje jane modat e vibrimit te nje daulleje rrethore.

Referenca

 * M. Abramowitz and I. Stegun eds., Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.


 * Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.


 * McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16.  ISBN 1-891389-24-6.


 * Kapitulli 3, "Beam Optics," pp. 80–107.


 * A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, New York, 1949.



Lidhje te jashtme

 * Helmholtz Equation tek EqWorld: Bota e Ekuacioneve matematike.
 * Vibrating Circular Membrane Nga Sam Blake

Уравнение на Хелмхолц Helmholtz-Gleichung Helmholtz equation Ecuación de Helmholtz Équation de Helmholtz 헬름홀츠 방정식 Equazione di Helmholtz ヘルムホルツ方程式 Уравнение Гельмгольца Phương trình Helmholtz 亥姆霍兹方程