Ligji i Amperit

Mekanika e Lagranzhit është një riformulim i mekanikes klasike që kombinon ligjin e  konservimit të impulsit me ligjin e ruajtjës së energjisë. Për herë të parë ajo u dha nga Jozef Louiz Lagranzhi në 1788. Në mekanikën e Lagranzhit, trajektoria e sistemit të thermijave derivohet duke zgjidhur ekuacionët e  Lagranzhit, të cila jepën, për seicilën nga koordinatat e përgjithshmë të sistemit. Lema themelore e analizës së variacionut tregon se zgjedhja e ekuacioneve të Lagranzhit është ekuivalentë me gjetjen e shtegut që minimizon funksionalin e veprimit, një madhesi që përcaktohet si integrali i funksionit të Lagranzhit mbi kohën.

Perdorimi i kordinatave të përgjithshmezakonisht e thjeshteson jashtezakonisht analizën e një sistemi. Për shembull, konsideroni një sferë të vogël metalike (në këtë rast e neglizhojme forcën e fërkimit) që leviz ne një kanal. Neqoftese e cilësojme sferën si një pikë lendore, llogaritja e levizjesse sferës duke përdorur mekanikën e Njutonit do të kërkonte që të zgjidhim për një forcë që ndryshon në kohë e cila në këtë rast do të që forca që mban sferën në kanal. Nga ana tjetër për të njejtin problem në mekanikën e Lagranzhit, në duhet vetëm të analizojme trajektorën e kanalit dhe të zgjedhim një set kordinatash të pavarura që karakterizijne ne menyre të plotë levizjen e sferës. Kjo zgjedhje eliminon nevojen për të analizuar forcën që vepron mbi trupin. Në thelb kjo do të thotë që ka më pak ekuacione sepse ne nuk llogarisim ne menyre direkte forcën e kanalit mbi sferën ne një moment të caktuar.

Ekuacionet e Lagranzhit
Ekuacionet e levizjës në mekanikën e Lagranzhit quhen Ekuacionet e Lagranzhit, gjithashtu ato njihen si Ekuacionet e Ojler–Lagranzhit. Më poshtë, ne do të japim një derivim të ekuacioneve të Lagranzhit. Vine re se në këtë kontekst, ne vend të U për energjinë potenciale perdore V dhe T zevendeson K për energjinë kinetike. Shikoni referencat për derivime më të detajuara ose më të përgjishme.

Duke filluar me principin e D'Alembertit për punen virtuale të forcave të aplikuara, $$\mathbf{F}_i$$, dhe forcës inerciale ne një system joinercial tre dimensional që konsiston prej n thermijash, levizja e se cilave është konsistente me shtrëngesta që janë vënë mbi sistemin :


 * $$\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0$$.
 * $$\delta W$$ është puna virtuale,
 * $$\delta \mathbf r_i$$ është zhvendosja virtual e sistemit, konsistente me shtrëngesat,
 * $$m_i$$ janë masat e thermijave të sistemit,
 * $$\mathbf a_i$$ është nxitimi (nxitimet) e thermijave të sistemit,
 * $$m_i \mathbf a_i$$ se bashku si product ato paraqesin derivatet kohore të impulsive të sistemit, pra. Forcat inerciale,
 * $$i$$ është një numër që perdoret për të treguar (perms një subskripti) një variable që i korrespondonnjë thermije të caktuar,
 * $$n$$ është një numër thermijash nën considerate.

Nda dy termat e meposhtme :


 * $$\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0$$.

Tani le të hipotezojmë se ekuacionet e meposhtme të transformimit nga m kordinata të pergjithshme jane pavarura, $$q_j$$, hold :


 * $$\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_1(q_1, q_2, ..., q_m, t)$$,
 * $$\mathbf{r}_2=\mathbf{r}_2(q_1, q_2, ..., q_m, t)$$, ...
 * $$\mathbf{r}_n=\mathbf{r}_n(q_1, q_2, ..., q_m, t)$$.
 * $$m$$ (pa subskript) tregon numrinë përgjishme të kordinatave të përgjishme.

Një shprehje për zhvendosjen virtual (diferenciali), $$\delta \mathbf{r}_i$$, i sistemit


 * $$\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j$$.
 * $$j$$ është një numër që perdoret për të treguar (perms subskriptit) një varibël që i korespondon një kordinatë të përgjithshme.

Forcat e aplikuar mund të shprehen në kordinata të përgjithshme si forca të përgjithsme, $$Q_j$$,


 * $$Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j}$$.

Duke kombinuar ekuacionet per $$\delta W$$, $$\delta \mathbf{r}_i$$, dhe $$Q_j$$ ne marrim rezultatin e mposhtem pasi terheqim shumen jashte prodhimit scalar nga term i dyte:


 * $$\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j = 0$$.

Duke zevendesuar me rezultatin nga relacionet e energjise kinetike ne menyre qe te ndyshojme forcat inerciale ne nje te funksion te energjise kinetike ne marrim


 * $$\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \left ( \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} \right ) \delta q_j = 0$$.

Ne ekuacionin e mesiperm, $$\delta q_j$$ eshte arbitrare, eshe pse—sipas percaktimi ajo eshte konsistente me kushtet. Pra relacioni eshte i vertet per cdo term:


 * $$Q_j = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}$$.

Shembuj
Ne kete seksion ne japim dy shembuj te cilat shpegojne se si aplikohen konceptet e melartme. Shembulli i pare tregon per nje rast te thjeshte se formailzmi Lagranzhian dhe ai Njutonian punojne njesoj. Shembulli i dyte tregon fuqine e vertete te formalizmit te melartem, per nje rast qe eshte shume i veshtire qe te zgjidhet me metoden Njutoniane.

Renia e lire e nje pike lendore
Konsideroni nje pike lendore me mase m qe kryen renie te lire nga prehjat. Nga graviteti nje force F = m g ushtrohet mbi masen (duke marre parasysh se g eshte konstante). Po te zevendesojme forcen n ligjin e dyte te Njutonit, gjejme $$\ddot x = g$$ prej nga zgjidhja eshte
 * $$x(t) = \frac{1}{2} g t^2$$

(neqoftese zgjedhim origjinen ne piken fillestare). Ky rezultat mund te derivohet edhe nga formalizmi i Lagranzhit. Le te jete x kordinata, e cila eshte 0 ne piken fillestare. Energjia kinetike eshte $$T = \frac{1}{2} m v^2$$ ndersa ajo potenciale eshte $$V = - m g x$$, pra
 * $$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x$$.

Tani kemi
 * $$0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m g - m \frac{\mathrm{d} \dot x}{\mathrm{d} t} $$

e cila mund te rishkruhet si $$\ddot x = g$$, kjo jep te njejtin rezultat si me pare.

Lavjerres ne nje platform levizese
Konsideroni nje lavjerres me mase m dhe gjatesi l, i cili eshte i varuru ne nje suport me mase M e cila mund te levize pergjate nje vije ne drejtimin e x. Le te jete x kordinata pergjate vijese se suportit, dhe le te japim pozicionin e lavjerresit meane te nje kendi θ te matur nga vertikalja. Energjia kinetike mund te tregohet qe eshte
 * $$T = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right], $$

Ndersa ajo energjia potenciale e sistemit eshte
 * $$ V = m g \operatorname{y}_\mathrm{pend} = - m g l \cos \theta . $$

Tani pot e bejme diferencimin per koordinaten e suportit x
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m l \dot\theta \cos\theta \right] = 0, $$

pra:
 * $$ (M + m) \ddot x + m l \ddot\theta\cos\theta-m l \dot\theta ^2 \sin\theta = 0 $$

Tregon prezencen e nje konstanteje te levizjes. Variabla tjeter jep
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x l \cos\theta ) \right] + m (\dot x l \dot \theta + g l) \sin\theta = 0$$;

pra
 * $$\ddot\theta + \frac{\ddot x}{l} \cos\theta + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 $$.

Keto ekuacione mund te duken shume te komplikuara, por per ti gjetur ato me metoden e Njutonit ne duhet qe te identifikojme te gjitha forcat, gje e cila jo vetem eshte e veshtire por le edhe shteg per gabime. Duke konsideruar rastet limit ($$\ddot x \to 0$$ duhet te jape ekuacionet e levizjes per nje lavjerres, $$\ddot\theta \to 0$$ duhet te jape ekuacionet per lavjerresin ne nje sistem qe me nxitim constant.) korrektesia e ketij sistemi mund te verifikohet.

Shiko gjithashtu

 * Problemi i tre-trupave
 * Mekanika e Hamiltonit
 * Derivati funksional
 * Forma e Nilsenit
 * Kordinatat kanonike
 * Kordinatat e pergjithshme
 * Analiza e Lagranzhit (aplikime te mekanikes se Lagranzhit)

Referenca

 * Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
 * Moon, F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems, pp. 103-168 (Wiley, 1998).

Lexime te metejshme

 * Landau, L.D. and Lifshitz, E.M. Mechanics, Pergamon Press.
 * Gupta, Kiran Chandra, Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).

Lidhje te jashtme

 * Tong, David, Classical Dynamics Cambridge lecture notes
 * Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
 * Aerospace dynamics lecture notes on Lagrangian mechanics
 * Aerospace dynamics lecture notes on Rayleigh dissipation function

Lagrangian mechanics